#include<cstdio>
#define mod 1000000007
long long ai[500003];
long long bi[500003];
long long prea[500003];
long long preb[500003];
long long ans=0,temp1=0,temp2=0;
int main(){
	int tot;
	scanf("%d",&tot);
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		scanf("%lld",&ai[i]);
		prea[i]=(prea[i-1]+ai[i])%mod;
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		scanf("%lld",&bi[i]);
		preb[i]=(preb[i-1]+bi[i])%mod;
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		ans=(ans+prea[i]*preb[i]%mod*(tot+1)%mod)%mod;
		temp1=(temp1+prea[i])%mod;
    }
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		temp2=(temp2+temp1*preb[i]%mod)%mod;
	}
	ans=(ans-temp2+mod)%mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
} 

前言：这一题本质上需要一些因式分解的知识用来化简和式

首先，基于 $S(l, r)$ 的和式：$\sum_{i=1}^r a_i \times \sum_{i=l}^r b_i$ 可以化简为前缀和数组如下：

$(suma[r]-suma[l-1])\times(sumb[r] - sumb[l-1)$

之后因式分解得到四个前缀和的乘积，如下图所示：

$suma[r]\times sumb[r]-suma[r]\times sumb[l-1]-$

$suma[l-1]\times sumb[r]+suma[l-1]\times sumb[l-1]$

之后引入新的前缀和数组，分别代表含义如下：

$sa[i]$ 表示前 $i$ 个

之后对四个成绩带入所求总体的和式，依次计算其结果并化简：

① $\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^n suma[r]\times sumb[r]$，令 $sab[i]$ 为前 $i$ 个 $suma[i]\times sumb[i]$ 的和

则：$\sum_{i=1}^n sab[n]-sab[i-1]$

② $\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^n suma[r]\times sumb[l-1]$

= $\sum_{l=1}^n sumb[l-1] \sum_{r=l}^n suma[r]$ 令 $sa[i]$ 为前 $i$ 个 $suma[i]$ 的和

则：$\sum_{i=1}^n sumb[i-1]\times (sa[n]-sa[i-1])$

③ $\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^n suma[l-1]\times sumb[r]$

= $\sum_{l=1}^n suma[l-1] \sum_{r=l}^n sumb[r]$ 令 $sb[i]$ 为前 $i$ 个 $sumb[i]$ 的和（无敏感词汇）

则：$\sum_{i=1}^n suma[i-1]\times (sb[n]-sb[i-1])$（无敏感词汇*2）

④ $\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^n suma[l-1]\times sumb[l-1]$

= $\sum_{i=1}^n (n-i+1)\times (suma[i-1]\times sumb[i-1])$

之后将这四个计算合成到一个时间复杂度为 $O(n)$ 的循环里，依次赋值为：

$temp1$、$temp2$、$temp3$、$temp4$

每次一次计算都进行取模计算，避免越界：$\%MOD$

并且设定变量 $ans$ 每次加上 $(ans+temp1-temp2-temp3+temp4)\%MOD$ 的值

最后输出结果即可。（记得把变量开 $long$ $long$！！！）

下面是 $AC code$: （代码略微累赘，可以优化~）

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 5 * 1e5 + 5;
ll n, ans;
ll suma[N], sumb[N];
ll sa[N], sb[N], sab[N];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ll a;
        cin >> a;
        suma[i] = (suma[i - 1] + a) % MOD;
        sa[i] = (sa[i - 1] + suma[i]) % MOD;
    } for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ll b;
        cin >> b;
        sumb[i] = (sumb[i - 1] + b) % MOD;
        sb[i] = (sb[i - 1] + sumb[i]) % MOD;
        sab[i] = (sab[i - 1] + (suma[i] * sumb[i] % MOD)) % MOD;
    } for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ll temp1 = (sab[n] - sab[i - 1] + MOD) % MOD;
        ll temp2 = (sumb[i - 1] * ((sa[n] - sa[i - 1] + MOD) % MOD)) % MOD;
        ll temp3 = (suma[i - 1] * ((sb[n] - sb[i - 1] + MOD) % MOD)) % MOD;
        ll temp4 = ((n - i + 1) * ((suma[i - 1] * sumb[i - 1]) % MOD)) % MOD;
        ans = (ans + temp1 - temp2 - temp3 + temp4 + MOD) % MOD;
    } cout << ans;

    return 0;
}

#include<bits/stdc++.h>
#define llint long long
using namespace std;llint m=1e9+7;main(){
int n=0,ans=0,x=0,y=0,A=0,B=0,i=0;cin>>n;
vector<int>a(n),b(n),aa(n+1,0),bb(n+1,0);
for(int&i:a)cin>>i,aa[x]=(aa[x++]%m+i)%m;
for(int&i:b)cin>>i,bb[y]=(bb[y++]%m+i)%m;
for(;++i<=n;)A=(A+aa[i])%m,B=(B+bb[i])%m;
for(i=0;i++<n;)(ans+=aa[i]%m*bb[i]%m)%=m;
cout<<(ans%m*(n+1)%m+m-A%m*B%m)%m<<endl;}

真齐！

（已AC，请放心食用）

强迫症患者福音

肽

#include <cstdio>
#include <iostream>

#define N 500010
#define ll long long

using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int n;
ll a[N], b[N], sa[N], sb[N], qz[N], qza[N], qzb[N];

ll read() {
	ll s = 0, f = 0; char ch = getchar();
	while (!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) s = s * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -s : s;
}

int main() {
	n = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		a[i] = read(), sa[i] = (sa[i - 1] + a[i]) % mod;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		b[i] = read(), sb[i] = (sb[i - 1] + b[i]) % mod;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		qza[i] = (qza[i - 1] + sa[i]) % mod;
		qzb[i] = (qzb[i - 1] + sb[i]) % mod;
		qz[i] = (sa[i] * sb[i] % mod + qz[i - 1]) % mod;
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ll sf = (qz[n] - qz[i - 1] + mod) % mod;
		ll sy = ((qzb[n] - qzb[i - 1] + mod) % mod * sa[i - 1]) % mod;
		ll sq = ((qza[n] - qza[i - 1] + mod) % mod * sb[i - 1]) % mod;
		ll sp = ((n - i + 1) * ((sa[i - 1] * sb[i - 1]) % mod)) % mod;
		ans = (ans + sf - sy - sq + sp + mod) % mod;
	}
	cout << ans;
}