问题 1：求出 ( a ) 和 ( b ) 的值

根据材料一，定义的新运算 ( K(x, y) ) 如下：

$$K(x, y) = ax + by$$

已知：

$$K(1, 2) = 7 \quad \text{即} \quad a + 2b = 7$$

$$K(-2, 3) = 0 \quad \text{即} \quad -2a + 3b = 0$$

我们有以下两个方程：

1. ( a + 2b = 7 )
2. ( -2a + 3b = 0 )

通过解这个方程组，我们可以找到 ( a ) 和 ( b ) 的值。

解第一个方程，得到：

$$a = 7 - 2b$$

将这个代入第二个方程：

$$-2(7 - 2b) + 3b = 0$$

$$-14 + 4b + 3b = 0$$

$$7b = 14$$

$$b = 2$$

然后代入 ( a = 7 - 2b )：

$$a = 7 - 2 \cdot 2 = 3$$

所以，( a = 3 )，( b = 2 )。

问题 2：已知 ( x, y ) 均为非负数，且 ( x + 2y = 10 )，求 ( 4x - y ) 的取值范围

根据给定条件 ( x + 2y = 10 )，我们有：

$$x = 10 - 2y$$

由于 ( x ) 和 ( y ) 都是非负数，因此：

$$x \geq 0 \quad \text{和} \quad y \geq 0$$

从 $( x \geq 0 )$ 得到：

$$10 - 2y \geq 0$$

$$y \leq 5$$

从 $( y \geq 0 )$ 得到：

$$0 \leq y \leq 5$$

现在求 ( 4x - y ) 的范围：

$$4x - y = 4(10 - 2y) - y = 40 - 8y - y = 40 - 9y$$

因为 ( y ) 的范围是$( 0 \leq y \leq 5 )$，所以：

当 ( y = 0 ) 时，( 4x - y = 40 )

当 ( y = 5 ) 时，$( 4x - y = 40 - 9 \times 5 = 40 - 45 = -5 )$

因此，( 4x - y ) 的取值范围是 $( -5 \leq 4x - y \leq 40 )$。

问题 3：已知 ( x, y, z ) 均为非负数，且 ( K(y, z) = 3 + x )，( K(x, y/2) = 4 - 3x )，求 ( W = x - 3y + 4z ) 的最小值和最大值

根据定义 ( K(x, y) = 3x + 2y )，我们有：

1. ( K(y, z) = 3y + 2z = 3 + x )
2. ( K(x, y/2) = 3x + 2(y/2) = 3x + y = 4 - 3x )

首先解第二个方程：

$$3x + y = 4 - 3x$$

$$6x + y = 4$$

$$y = 4 - 6x$$

代入第一个方程：

$$3y + 2z = 3 + x$$

$$3(4 - 6x) + 2z = 3 + x$$

$$12 - 18x + 2z = 3 + x$$

$$2z = 3 + x + 18x - 12$$

$$2z = 3 + 19x - 12$$

$$2z = 19x - 9$$

$$z = \frac{19x - 9}{2}$$

因为 ( y \geq 0 ) 和 ( z \geq 0 )，我们有：

$$4 - 6x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{2}{3}$$

$$19x - 9 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{9}{19}$$

所以：

$$\frac{9}{19} \leq x \leq \frac{2}{3}$$

现在求 ( W = x - 3y + 4z )：

$$W = x - 3(4 - 6x) + 4\left(\frac{19x - 9}{2}\right)$$

$$W = x - 12 + 18x + 2(19x - 9)$$

$$W = x - 12 + 18x + 38x - 18$$

$$W = 57x - 30$$

在 ( x = \frac{9}{19} ) 和 ( x = \frac{2}{3} ) 处计算 ( W )：

当 ( x = \frac{9}{19} ) 时：

$$W = 57 \cdot \frac{9}{19} - 30$$

$$W = 27 - 30 = -3$$

当 ( x = \frac{2}{3} ) 时：

$$W = 57 \cdot \frac{2}{3} - 30$$

$$W = 38 - 30 = 8$$

因此，( W ) 的最小值是 -3，最大值是 8。

总结答案

3,2
-5 <= 4x - y <= 40
-3,8