一道比较复杂的深搜。

首先我们用数组记录每个空的位置，然后从第一个空的位置开始搜，每填完一个空就转入下一个空的位置继续填……直到填完所有空。

接下来是标记的问题，标记与八皇后类似：开四个二维数组分别表示行、列和两条斜线上对应的数字是否使用过。例如 $h_{i_j}$ 表示在第 $i$ 行是否使用过数字 $j$。

行列的标记很简单，斜线的标记复杂一些：通过观察发现，从左下到右上的斜线上的位置的行列坐标和是一定的，我们可以用 $c_{i+j}$ 表示这样一条斜线的编号。而从左上到右下的斜线上的位置的行列坐标差是一定的，我们可以用 $d_{i-j+n}$ 表示这样一条斜线的编号，$+n$ 是为了防止负数。

可以画个矩阵理解标记，具体详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans;
char ch;
bool h[10][10],l[10][10],c[11][10],d[18][10];
vector<int> x,y;
void dfs(int id){
    //当前正在填第id个空
    if (id==x.size()){
        ans++;
        return;
        //填写完毕，统计方案
    }
    int X=x[id],Y=y[id];
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (!h[X][i]&&!l[Y][i]&&!c[X+Y][i]&&!d[X-Y+n][i]){
            h[X][i]=1;
            l[Y][i]=1;
            c[X+Y][i]=1;
            d[X-Y+n][i]=1;
            dfs(id+1);
            h[X][i]=0;
            l[Y][i]=0;
            c[X+Y][i]=0;
            d[X-Y+n][i]=0;
            //又是一堆标记。。。。
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        for (int j=1;j<=n;j++){
            cin>>ch;
            if (ch=='*'){
                //记录每个空的位置
                x.push_back(i);
                y.push_back(j);
                continue;
            }
            h[i][ch-'0']=1;
            l[j][ch-'0']=1;
            c[i+j][ch-'0']=1;
            d[i-j+n][ch-'0']=1;
            //一堆标记。。。
        }
    }
    dfs(0);
    cout<<ans;
    return 0;
}