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一、选择题

1. 在 Linux 系统终端中，以下哪个命令用于创建一个新的目录？

{{ select(1) }}

• newdir
• mkdir
• create
• mkfold

2. $0,1,2,3,4$ 中选取 $4$ 个数字，能组成（）个不同四位数（注：最小的四位数是 $1000$,最大的四位数是 $9999$）。 {{ select(2) }}

• 96
• 18
• 120
• 84

3. 假设 n 是图的顶点的个数，m是图的边的个数，为求解某一问题有下面四种不同时间复杂度的算法。对于 $m=Θ(n)$的稀疏图而言，下面的四个选项，哪一项的渐近时间复杂度最小（）。

{{ select(3) }}

• $O(m \sqrt{\log n} \cdot \log \log n)$
• $O\left(n^{2}+m\right)$
• $O\left(\frac{n^{2}}{\log m}+m \log n\right)$
• $O(m+n \log n)$

4. 假设有n 根柱子，需要按照以下规则依次放置编号为$1、2、3$、...的圆环:每根柱子的底部固定，顶部可以放入圆环，每次从柱子顶部放入圆环时，需要保证任何两个相邻圆环的编号之和是一个完全平方数。请计算当有4根柱子时，最多可以放置( )个圆环 {{ select(4) }}

• 7
• 9
• 11
• 5

5. 以下对数据结构的表述不恰当的一项是 {{ select(5) }}

• 队列是一种先进先出(FIFO)的线性结构
• 哈夫曼树的构造过程主要是为了实现图的深度优先搜索
• 散列表是一种通过散列函数将关键字映射到存储位置的数据结构
• 二又树是一种每个结点最多有两个子结点的树结构

6. 以下连通无向图中，( )一定可以用不超过两种颜色进行染色 {{ select(6) }}

• 完全三叉树
• 平面图
• 边双连通图
• 欧拉图

7. 最长公共子序列长度常常用来衡量两个序列的相似度。其定义如下:给定两个序列$X=x_1,x_2,x_3,...x_m$ 和 $Y=y_1,y_2,y_3...y_n$,最长公共子序列(LCS)问题的目标是找到一个最长的新序列$Z= z_1,z_2,z_3...z_k$,使得序列 $Z$既是序列$X$ 的子序列，又是序列$Y$的子序列，且序列$Z$的长度$k$在满足上述条件的序列里是最大的。(注:序列$A$是序列$B$的子序列，当且仅当在保持序列$B$元素顺序的情况下，从序列$B$中删除若干个元素，可以使得剩余的元素构成序列$A$。)则序列ABCAAAABA和ABABCBABA的最长公共子序列长度为( ) {{ select(7) }}

• 4
• 5
• 6
• 7

8. 一位玩家正在玩一个特殊的掷骰子的游戏，游戏要求连续掷两次骰子，收益规则如下:玩家第一次掷出$x$点，得到$2x$元;第二次掷出$y$点，当$y=x$ 时玩家会失去之前得到的$2x$元而当$y\neq x$时玩家能保住第一次获得的$2x$元。上述$x,y∈1,2,3,4,5,6$。 例如:玩家第一次掷出$3$点得到$6$元后，但第二次再次掷出$3$点，会失去之前得到的$6$元，玩家最终收益为$0$元:如果玩家第一次掷出$3$点第二次掷出$4$点，则最终收益是$6$元。假设骰子挑出任意一点的概率均为$\frac{1}{6}$,玩家连续掷两次般子后所有可能情形下收益的平均值是多少? {{ select(8) }}

• 7元
• $\frac{35}{6}$元
• $\frac{16}{3}$元
• $\frac{19}{3}$元

9. 假设我们有以下的C++代码:

int a=5,b=3,c=4;
bool res = a & b || c ^ b && a | c

请问，res的值是什么？

提示:在 C++中，逻辑运算的优先级从高到低依次为: 逻辑非(!)逻辑与(&&)、逻辑或(||)。位运算的优先级从高到低依次为: 位非(~)、位与(&)、位异或(^)、位或(|)。同时，双目位运算的优先级高于双目逻辑运算:逻辑非和位非优先级相同，且高于所有双目运算符

{{ select(9) }}

• true
• false
• 1
• 0

10. 假设快速排序算法的输入是一个长度为n的已排序数组，且该快速排序算法在分治过程总是选择第1个元素作为基准元素。以下哪个选项描述的是在这种情况下的快速排序行为? {{ select(10) }}

• 快速排序对于此类输入的表现最好,因为数组已经排序
• 快速排序对于此类输入的时间复杂度是$O(nlogn)$。
• 快速排序对于此类输入的时间复杂度是$O(n^2)$
• 快速排序无法对此类数组进行排序因为数组已经排序

11. 以下哪个命令，能将一个名为main.cpp的 C++源文件，编译并生成一个名为main的可执行文件? ( )

{{ select(11) }}

• g++ -o main main.cpp
• g++ -o main.cpp main
• g++ main -o main.cpp
• g++ main.cpp -o main.cpp

12. 在图论中，树的重心是树上的一个结点，以该结点为根时，使得其所有的子树中结点数最多的子树的结点数最少。一棵树可能有多个重心。请问下面哪种树一定只有一个重心( ) {{ select(12) }}

• 4个结点的树
• 6个结点的树
• 7个结点的树
• 8个结点的树

13. 如图是一张包含$6$个顶点的有向图，但顶点间不存在拓扑序。如果要删除其中一条边，使这$6$个顶点能进行拓扑排序，请问总共有多少条边可以作为候选的被删除边?

{{ select(13) }}

• 1
• 2
• 3
• 4

14. 若$n=\textstyle \sum_{i=0}^{k}16^i·x_i$,定义$f(n)=\textstyle \sum_{i=0}^{k} x_i$，其中$x_i \in \left \{0,1,...15 \right \}$,对于给定的自然数$n_0$，存在序列$n_0,n_1,n_2,...,n_m$，其中对于$1<=i<=m$都有$n_i=f(n_i-1)$,且$n_m=n_{m-1}$，称$n_m$为$n_0$关于f的不动点，问在$100_{16}$到$1A0_{16}$中，关于f的不动点为9的自然数的个数

{{ select(14) }}

• 10
• 11
• 12
• 13

15.现在用如下代码来计算$x^n$，其时间复杂度为( )

double quick_power(double x, unsigned n) {
   if (n == 0)  return 1;
   if (n == 1)  return x;
   return quick_power(x, n / 2) * quick_power(x, n / 2) * ((n & 1) ? x : 1);
}

{{ select(15) }}

• $O(n)$
• $O(1)$
• $O(logn)$
• $O(nlogn)$

二、阅读程序

（1）

#include <iostream>
using namespace std;

unsigned short f(unsigned short x) {
    x ^= x << 6;
    x ^= x >> 8;
    return x;
}
int main() {
    unsigned short x;
    cin >> x;
    unsigned short y = f(x);
    cout << y << endl;
    return 0;
}

假设输入的$x$是不超过$65535$ 的自然数，完成下面的判断题和单选题:

16. 当输入非零时，输出一定不为零。（） {{ select(16) }}

• 正确
• 错误

17.将 f 函数的输入参数的类型改为 unsigned int，程序的输出不变。（）

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

18.当输入为“65535”时，输出为“63”（ ） {{ select(18) }}

• 正确
• 错误

19.当输入为 1 时，输出为 64。（） {{ select(19) }}

• 正确
• 错误

20.当输入为 512 时，输出为（）。 {{ select(20) }}

• 33280
• 33410
• 33106
• 33346

21.当输入为“64”时，执行完第$5$行后$x$的值为() {{ select(21) }}

• 8256
• 4130
• 4128
• 4160

（2）

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

long long solve1(int n) {
    vector<bool> p(n + 1, true);
    vector<long long> f(n + 1, 0), g(n + 1, 0);
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (p[i]) {
            vector<int> d;
            for (int k = i; k <= n; k *= i)
                d.push_back(k);
            reverse(d.begin(), d.end());
            for (int k : d) {
                for (int j = k; j <= n; j += k) {
                    if (p[j]) {
                        p[j] = false;
                        f[j] = i;
                        g[j] = k;
                    }
                }
            }
        }
    }
    for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++) {
        if (p[i]) {
            f[i] = i;
            g[i] = i;
        }
    }
    long long sum = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        f[i] = f[i / g[i]] * (g[i] * f[i] - 1) / (f[i] - 1);
        sum += f[i];
    }
    return sum;
}

long long solve2(int n) {
    long long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += i * (n / i);
    }
    return sum;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << solve1(n) << endl;
    cout << solve2(n) << endl;
    return 0;
}

假设输入的 n 是不超过 1000000的自然数，完成下面的判断题和单选题

22.将第15 行删去，输出不变（ ） {{ select(22) }}

• 正确
• 错误

23.当输入为10时，输出的第一行大于第二行。（ ） {{ select(23) }}

• 正确
• 错误

24.当输入为1000时，输出的第一行与第二行相等（ ） {{ select(24) }}

• 正确
• 错误

25.$solve1(n)$的时间复杂度为（ ） {{ select(25) }}

• $O(nlog^2n)$
• $O(n)$
• $O(nlogn)$
• $O(nloglogn)$

26.$solve2(n)$的时间复杂度为（ ）

{{ select(26) }}

• $O(n^2)$
• $O(n)$
• $O(nlogn)$
• $O(n \sqrt n)$

27.输入为5时，输出的第二行为( ) {{ select(27) }}

• 20
• 21
• 22
• 23

（3）

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

bool f0(vector<int> &a, int m, int k) {
    int s = 0;
    for (int i = 0, j = 0; i < a.size(); i++) {
        while (a[i] - a[j] > m)
            j++;
        s += i - j;
    }
    return s >= k;
}

int f(vector<int> &a, int k) {
    sort(a.begin(), a.end());

    int g = 0;
    int h = a.back() - a[0];
    while (g < h) {
        int m = g + (h - g) / 2;
        if (f0(a, m, k)) {
            h = m;
        }
        else {
            g = m + 1;
        }
    }

    return g;
}

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> a(n, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    cout << f(a, k) << endl;
    return 0;
}

假设输入总是合法的且$1<=a_i<=10^8,n<=10000,1<=k<=\frac{n(n-1)}{2}$,完成下面的判断题和单选题

28.将第24行的m改为m-1，输出有可能不变，而剩下情况为少1。（ ） {{ select(28) }}

• 正确
• 错误

29.将第22行的g + (h - g) / 2改为(h + g) >> 1，输出不变。（ ） {{ select(29) }}

• 正确
• 错误

30.当输入为5 7 2 -4 5 1 -3，输出为5。（ ） {{ select(30) }}

• 正确
• 错误

31.设a数组中最大值减最小值加1为A，则f函数的时间复杂度为（ ） {{ select(31) }}

• $O(nlogA)$
• $O(n^2logA)$
• $O(nlog(nA))$
• $O(nlogn)$

32.将第10行中的>替换为>=，那么原输出与现输出的大小关系为（ ）

{{ select(32) }}

• 一定小于
• 一定小于等于且不一定小于
• 一定大于等于且不一定大于
• 以上三种情况都不对

33.当输入为5 8 2 -5 3 8 -12时，输出为（ ）

{{ select(33) }}

• 13
• 14
• 8
• 15

三、完善程序

（ 1 ） （第k小路径） 给定一张n个点 m 条边的有向无环图，顶点编号从$0$到$n-1$。对于一条路径，我们定义“路径序列”为该路径从起点出发依次经过的顶点编号构成的序列。求所有至少包含一个点的简单路径中，“路径序列”字典序第k小的路径。保证存在至少 k条路径，上述参数满足$1<=n,m<=10^5$ 和$1<=k<=10^{18}$ . 在程序中，我们求出从每个点出发的路径数量。超过$10^{18}$的数都用 $10^{18}$表示。然后我们根据$k$的值和每个顶点的路径数量，确定路径的起点，然后可以类似地依次求出路径中的每个点。

试补全程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int MAXN = 100000;
const long long LIM = 1000000000000000000ll;

int n, m, deg[MAXN];
std::vector<int> E[MAXN];
long long k, f[MAXN];

int next(std::vector<int> cand, long long &k) {
    std::sort(cand.begin(), cand.end());
    for (int u : cand) {
        if (①) return u;
        k -= f[u];
    }
    return -1;
}

int main() {
    std::cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        std::cin >> u >> v; // 一条从u到v的边
        E[u].push_back(v);
        ++deg[v];
    }
    std::vector<int> Q;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (!deg[i]) Q.push_back(i);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int u = Q[i];
        for (int v : E[u]) {
            if (②)
                Q.push_back(v);
            --deg[v];
        }
    }
    std::reverse(Q.begin(), Q.end());
    for (int u : Q) {
        f[u] = 1;
        for (int v : E[u])
            f[u] = ③;
    }
    int u = next(Q, k);
    std::cout << u << std::endl;
    while (④) {
        ⑤;
        u = next(E[u], k);
        std::cout << u << std::endl;
    }
    return 0;
}

34.①处应该填写（ ）

{{ select(34) }}

• k >= f[u]
• k <= f[u]
• k > f[u]
• k < f[u]

35.②处应该填写（ ） {{ select(35) }}

• deg[v] == 1
• deg[v] == 0
• deg[v] > 1
• deg[v] > 0

36.③处应该填写（ ） {{ select(36) }}

• std::min(f[u] + f[v], LIM)
• std::min(f[u] + f[v] + 1, LIM)
• std::min(f[u] * f[v], LIM)
• std::min(f[u] * (f[v] + 1), LIM)

37.④处应该填写（ ） {{ select(37) }}

• u != 1
• !E[u].empty()
• k > 0
• k > 1

38.⑤处应该填写（ ） {{ select(38) }}

• k+=f[u]
• k-=f[u]
• --k
• ++k

（ 2 ） （最大值之和） 给定整数序列$a_0...a_{n-1}$，求该序列所有非空连续子序列的最大值之和。上述参数满足$1<=n<=10^5$ 和 $1<=ai<=10^8$ 一个序列的非空连续子序列可以用两个下标l和r(其中$0 <=l<=r<=n$)表示，对应的序列为$a_l,a_{l+1},...a_r$。两个非空连续子序列不同，当且仅当下标不同 例如，当原序列为[1,2,1,2] 时，要计算子序列[1]、[2]、[1]、[2]、[1,2]、[2,1]、[1,2]、[1,2,1]、[2,1,2]、[1,2,1,2] 的最大值之和，答案为 18。注意[1,1]和[2,2] 虽然是原序列的子序列，但不是连续子序列，所以不应该被计算。另外，注意其中有一些值相同的子序列，但由于他们在原序列中的下标不同，属于不同的非空连续子序列，所以会被分别计算. 解决该问题有许多算法，以下程序使用分治算法,时间复杂度 $O(nlogn)$。 试补全程序

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int MAXN = 100000;

int n;
int a[MAXN];
long long ans;

void solve(int l, int r) {
    if (l + 1 == r) {
        ans += a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    std::vector<int> pre(a + mid, a + r);
    for (int i = 1; i < r - mid; ++i) ①;
    std::vector<long long> sum(r - mid + 1);
    for (int i = 0; i < r - mid; ++i)
        sum[i + 1] = sum[i] + pre[i];
    for (int i = mid - 1, j = mid, max = 0; i >= l; --i) {
        while (j < r && ②) ++j;
        max = std::max(max, a[i]);
        ans += ③;
        ans += ④;
    }
    solve(l, mid);
    solve(mid, r);
}

int main() {
    std::cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        std::cin >> a[i];
    ⑤;
    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}

39.①处应填（ ） {{ select(39) }}

• pre[i] = std::max(pre[i - 1], a[i - 1])
• pre[i + 1] = std::max(pre[i], pre[i + 1])
• pre[i] = std::max(pre[i - 1], a[i])
• pre[i] = std::max(pre[i], pre[i - 1])

40.②处应填（ ）

{{ select(40) }}

• a[j] < max
• a[j] < a[i]
• pre[j - mid] < max
• pre[j - mid] > max

41.③处应填（ ） {{ select(41) }}

• (long long)(j - mid) * max
• (long long)(j - mid) * (i - 1)* max
• sum[j - mid]
• sum[j - mid] * (i- 1)

42.④处应填（ ） {{ select(42) }}

• (long long)(r - j) * max
• (long long)(r - j) * (mid - i) * max
• sum[r - mid] - sum[j - mid]
• (sum[r - mid] - sum[j - mid]) * (mid - i)

43.⑤处应填（ ） {{ select(43) }}

• solve(0,n)
• solve(0,n - 1)
• solve(1,1)
• solve(1,n - 1)