前言

在本地运行需要加上以下代码：

import sys
sys.set_int_max_str_digits(0)

提交时需要去掉，不然会RE

这篇题解中自定义的函数如下： plus(a:str,b:str)->str返回 $a+b$。

minus(a:str,b:str)->str返回 $a-b$。

multiply(a:str,b:str)->str返回 $a \times b$。

opposite(a:str)->str返回 $-a$。

judge(a:str,b:str)如果 $a>b$,返回False;如果 $a<b$,返回True;如果$a=b$,返回None。

division(a:str,b:str,accuracy:int)->str返回 $\frac{a}{b}$，保留 accuracy 位小数。

rounding_down(a:str,accuracy:int)->str返回 $a$ 保留 accuracy 位小数后的结果。

decimal_to_fraction(a:str)返回转分数后的 $a$ 的分母，$a$ 的整数部分，$a$ 的小数部分的分子。

abs1(a:str)->str返回 $|a|$。

power1(a:str,b:str,accuracy:int)->str返回 $a^b$ 保留 accuracy 位小数后的结果。

root(a:str,b:str,accuracy:int)->str返回 $\sqrt[b]{a}$ 保留 accuracy+int(b)*10 位小数后的结果。

高精加/减/乘

众所周知，python是自带高精度的，也就是说，在进行整数的加/乘运算时不会有误差。所以我们可以先去掉小数点，然后直接用自带的+和*计算，最后在加上小数点；减去一个数等于加上这个数的相反数。这里避免抄袭，只放加法的代码：

def plus(a:str,b:str) -> str:
    decimal_place_a = a.find('.')
    decimal_place_b = b.find('.')
    if decimal_place_a == -1:
        if decimal_place_b == -1:
            return str(int(a)+int(b))
        else:
            decimal_place_a = 0
    elif decimal_place_b == -1:
        decimal_place_b = 0
    if decimal_place_a != 0:
        decimal_place_a = len(a)-decimal_place_a-1
    if decimal_place_b != 0:
        decimal_place_b = len(b)-decimal_place_b-1
    if decimal_place_a > decimal_place_b:
        b += '0'*(decimal_place_a-decimal_place_b)
    elif decimal_place_a < decimal_place_b:
        a += '0'*(decimal_place_b-decimal_place_a)
    a = a.replace('.','',1)
    b = b.replace('.','',1)
    a = int(a)
    b = int(b)
    c = list(str(a+b))
    decimal_place_c = max(decimal_place_a,decimal_place_b)
    minus_c = False
    if c[0] == '-':
        c.pop(0)
        minus_c = True
    if len(c) > decimal_place_c:
        c.insert(len(c)-decimal_place_c,'.')
    else:
        for i in range(decimal_place_c-len(c)):
            c.insert(0,'0')
        c.insert(0,'.')
        c.insert(0,'0')
    for i in range(len(c)-1,0,-1):
        if c[i] == '0':
            c.pop(i)
        elif c[i] == '.':
            c.pop(i)
            break
        else:
            break
    if minus_c and c != ['0']:
        c.insert(0,'-')
    c = ''.join(c)
    return c

高精度除

模拟手算即可。

def division(a:str,b:str,precision:int) -> str:
    minus_a = minus_b = False
    if a[0] == '-':
        minus_a = True
    if b[0] == '-':
        minus_b = True
    if minus_a and minus_b:
        return division(a[1:],b[1:],precision)
    elif minus_a and (not minus_b):
        return '-' + division(a[1:],b,precision)
    elif (not minus_a) and minus_b:
        return '-' + division(a,b[1:],precision)
    decimal_place_a = decimal_place_b = 0
    if '.' in a:
        decimal_place_a = len(a.split('.')[1])
    if '.' in b:
        decimal_place_b = len(b.split('.')[1])
    # 将字符串转化为整形
    num1 = a.replace('.', '')
    num2 = b.replace('.', '')
    if decimal_place_a > decimal_place_b:
        num2 += '0' * (decimal_place_a - decimal_place_b)
    elif decimal_place_a < decimal_place_b:
        num1 += '0' * (decimal_place_b - decimal_place_a)
    num1 = int(num1)
    num2 = int(num2)
    quotient = num1 // num2
    # 获取小数部分
    remainder = num1 % num2
    decimal_place = 0
    result = []
    while remainder != 0 and decimal_place < precision:
        remainder *= 10
        result.append(str(remainder // num2))
        remainder = remainder % num2
        decimal_place += 1
    # 将结果转化为字符串
    if len(result) != 0:
        result_str = ('.' + ''.join(result))
    else:
        result_str = ''
    return str(quotient) + result_str

高精度乘方（指数为整数）

实现很简单，但可以用快速幂优化。

def power1(a:str,b:str,accuracy:int) -> str:
    if '.' in b:
        y1,y2,y3 = decimal_to_fraction(b)#res=a^b=a^(d+e/c)=a^d*(root(a,c))^e
        return multiply(power1(a,y2,accuracy),power1(root(a,y1,accuracy),y3,accuracy))
    elif '.' not in a:
        return str(pow(int(a),int(b)))
    if b[0] == '-':
        return division('1',power1(a,b[1:],accuracy),accuracy)
    if a[0] == '-':
        c = '-'
        if '.' in b:
            raise ValueError('power1')
        if minus(multiply(division(b,'2',0),'2'),b)=='0':
            c = ''
        return c+power1(a[1:],b,accuracy)
    bins = list(bin(int(b))[2:])
    times = len(bins)
    c = a
    if a == '0':
        if b == '0':
            return 'Error:0^0无意义'
        else:
            return '0'
    if b == '0':
        return '1'
    if a == '1':
        return '1'
    for i in range(1,times):
        c = multiply(c,c)
        if accuracy != -1:
            c = rounding_down(c,accuracy+(times-i+1)**(times-i))
        if bins[i] == '1':
            c = multiply(c,a)
    if accuracy != -1:
        c = rounding_down(c,accuracy)
    return c

decimal_to_fraction函数

一个衔接函数，作用是返回转分数后的 $a$ 的分母，$a$ 的整数部分，$a$ 的小数部分的分子。

from fractions import Fraction

def decimal_to_fraction(a):
    a = Fraction(a).limit_denominator(20)
    b = a.numerator
    c = a.denominator
    d = b//c
    e = b%c
    return str(c),str(d),str(e)#c:分母;d:[a];e:{a}

高精度乘方（指数为有理数）

二分法：（会TLE，可能是我常数没调好）

def root(a,b,accuracy):
    if accuracy != 0:
        epsilon_max = '0.'+(accuracy-1)*'0'+'1'
    else:
        epsilon_max = '1'
    num = 0       #计算次数
    low = '0'  #下限
    high = a  #上限
    ans = division(plus(low,high),'2',accuracy+10)  #中点
    epsilon = '10'
    while not judge(epsilon,epsilon_max):
        num += 1
        buffer = power1(ans,b,-1)
        if buffer < a:
            low = ans
        else:
            high = ans
        ans = division(plus(low,high),'2',accuracy+num*num)
        epsilon = abs1(minus(power1(ans,b,-1),a))
    return ans

牛顿迭代法（将问题转换为求$x^b=a$方程的解）：

def root(a:str,b:str,accuracy:int) -> str:
    #求power1(a,1/b)
    #x**b-y即函数f(x);b*x**(b-1)函数f(x)的导数
    x = '1'+len(a)*int(division('1',b,0))*'0' #初始值
    y = a
    num = 0 #迭代次数
    if accuracy != 0:
        epsilon_max = '0.'+(accuracy-1)*'0'+'1'
    else:
        epsilon_max = '1'
    epsilon = '100'
    while not judge(epsilon,epsilon_max):
        num += 1
        f_x = minus(power1(x,b,-1),y)
        f_x_ = multiply(b,power1(x,minus(b,'1'),-1))
        x = minus(x,division(f_x,f_x_,accuracy*2+num*num))
        epsilon = abs1(minus(power1(x,b,-1),y))
    x = rounding_down(x,accuracy+int(b)*10)
    return x

后记

将以上代码结合起来即为最终代码，中间有些简单的函数就不放了防止抄作业。以上代码均为作者手打，请勿抄袭借鉴还是可以的。

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