这是一个经典的背包问题，采用动态规划的思路可以解决。

首先定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示容量为i的箱子剩余的最小空间。

初始化dp数组为0，表示当没有选取任何物品时，箱子的剩余空间为箱子的容量。

然后使用动态规划的思路逐个计算dp数组的值。

对于第i个物品，从后往前遍历容量j，有两种情况：

1. 不选取第i个物品，此时剩余空间与上一个物品的状态相同，即dp[j] = dp[j]。
2. 选取第i个物品，此时剩余空间等于上一个物品放入容量为(j-体积)的箱子中的剩余空间，即dp[j] = dp[j - volumes[i - 1]] + volumes[i - 1]。

最后，dp[V]就是箱子的剩余空间。

例如，输入数据为：24，6，8，3，12，7，9，7

初始化dp数组为[0, 0, 0, ..., 0]，长度为25（V+1）

对于第一个物品8，从后往前遍历容量j，当j >= 8时，有dp[j] = max(dp[j], dp[j - 8] + 8)，即dp[8] = max(0, dp[0] + 8) = 8，dp[9] = max(0, dp[1] + 8) = 8，...，dp[24] = max(0, dp[16] + 8) = 16。

对于第二个物品3，从后往前遍历容量j，当j >= 3时，有dp[j] = max(dp[j], dp[j - 3] + 3)，即dp[3] = max(0, dp[0] + 3) = 3，dp[4] = max(0, dp[1] + 3) = 3，...，dp[24] = max(0, dp[21] + 3) = 21。

依此类推，计算完所有物品后，得到dp数组为[0, 0, ..., 16, 18, 21, 21, 24, 24, ..., 24]。

最后，箱子剩余的最小空间为V - dp[V] = 24 - 24 = 0。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int min_remaining_space(int V, int n, vector<int>& volumes) {
    vector<int> dp(V + 1, 0);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = V; j >= volumes[i - 1]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - volumes[i - 1]] + volumes[i - 1]);
        }
    }

    return V - dp[V];
}

int main() {
    int V, n;
    cin >> V >> n;
    vector<int> volumes(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> volumes[i];
    }

    cout << min_remaining_space(V, n, volumes) << endl;

    return 0;
}

一道01背包问题

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int f[20005], v[35], n, V;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> V;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i];
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = V; j >= v[i]; j--)
            f[j] += f[j - v[i]];
    for (int i = V; i >= 0; i--)
    {
        if (f[i] != 0)
        {
            cout << V - i;
            break;
        }
    }
    return 0;
}

这一题要求剩余空间最小，那么可以把物品的体积看做价值，从而套用01背包模型。