本题中的峡谷序列，原理和山峰序列类似，但需要注意区分，否则容易陷入误区。 可能会有同学尝试在山峰序列代码的基础上交换f数组和g数组而陷入误区，这是因为对f数组和g数组的状态定义理解的不够清楚，我们在山峰子序列问题中用f[i]表示从左往右以i结尾时的最长上升子序列长度，g[i]表示从右往左以i结尾时的最长上升子序列长度，若想要表示以i结尾时的最长下降子序列长度，则需要调整中间的查询过程。

本题的数据规模较小，可以使用O(n²)时间复杂度算法。

for (int i = 1; i <= n; i++)  
    {  
    	f[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++)
		{
        	if (a[j] > a[i])
        	   f[i] = max(f[i], f[j] + 1); 
		}
    }
    for (int i = n; i >= 1; i--)  
    {  
    	g[i] = 1;
        for (int j = n; j > i; j --)
        {
        	if (a[j] > a[i])
        	   g[i] = max(g[i], g[j] + 1);
		} 	
    }

如果使用二分优化，则需要将d数组初始为0，并且在二分查找时查询d数组中第一个小于等于a[i]的数的下标。

int max_len(int x)
{
    int l = 1, r = n, ans = n + 1;
    while (l <= r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (d[mid] <= x)
        {
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else
        {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return ans;
}

for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int now = max_len(a[i]);
        f[i] = now;
        d[now] = a[i];
    }
    memset(d, 0, sizeof(d));
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
        int now = max_len(a[i]);
        g[i] = now;
        d[now] = a[i];
    }

这道题目要求找出给定序列中的最长峡谷子序列的长度。峡谷子序列是指先下降再上升的子序列。我们可以使用动态规划来解决这个问题。

首先，我们定义两个数组f和g，分别用来表示从左往右和从右往左的最长峡谷子序列长度。

对于f数组，我们从左往右遍历序列a，对于每个元素a[i]，我们在其之前的所有元素中查找比它大的元素，并更新f[i]为其之前的最大峡谷子序列长度加1。即 f[i] = max(f[j] + 1, f[i])，其中j取值范围为[1, i-1]，且a[j] > a[i]。

对于g数组，我们从右往左遍历序列a，对于每个元素a[i]，我们在其之后的所有元素中查找比它大的元素，并更新g[i]为其之后的最大峡谷子序列长度加1。即 g[i] = max(g[j] + 1, g[i])，其中j取值范围为[i+1, n]，且a[j] > a[i]。

最后，我们遍历f和g数组，计算f[i] + g[i] - 1的最大值，即为最长峡谷子序列的长度。

在实现过程中，我们可以使用二分查找来优化查找比当前元素大的最远位置的过程。具体做法是，维护一个辅助数组d，其中d[i]表示长度为i的最长上升子序列的末尾元素的最小值。在二分查找时，我们查询d数组中第一个小于等于当前元素a[i]的位置，即为满足条件的最远位置。

以上就是解决这个问题的思路和步骤。通过动态规划和二分查找，我们可以高效地求解最长峡谷子序列的长度。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

int max_len(int x, vector<int>& d) {
    int l = 1, r = d.size() - 1, ans = d.size();
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (d[mid] <= x) {
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return ans;
}

int longestValleySubsequence(int n, vector<int>& a) {
    vector<int> f(n + 1, 1);
    vector<int> g(n + 1, 1);
    vector<int> d(n + 1, 0);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int now = max_len(a[i], d);
        f[i] = now;
        d[now] = a[i];
    }
    
    memset(d.data(), 0, sizeof(int) * (n + 1));
    
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        int now = max_len(a[i], d);
        g[i] = now;
        d[now] = a[i];
    }
    
    int maxLength = 0;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        maxLength = max(maxLength, f[i] + g[i] - 1);
    }
    
    return maxLength;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    int result = longestValleySubsequence(n, a);
    cout << result << endl;
    return 0;
}