🚀️ #include<bits/stdc++.h>

啊哈！去中科院玩单片机 哟吼！在微软亚洲研究院写爬虫

#include <assert.h>　　　　设定插入点 #include <ctype.h>　　　　字符处理 #include <errno.h>　　　　 定义错误码 #include <float.h>　　　　浮点数处理 #include <fstream.h>　　　文件输入／输出 #include <iomanip.h>　　　 参数化输入／输出 #include <iostream.h>　　　数据流输入／输出 #include <limits.h>　　　　定义各种数据类型最值常量 #include <locale.h>　　　　定义本地化函数 #include <math.h>　　　　　定义数学函数 #include <stdio.h>　　　　定义输入／输出函数 #include <stdlib.h>　　　　定义杂项函数及内存分配函数 #include <string.h>　　　　字符串处理 #include <strstrea.h>　　　基于数组的输入／输出 #include <time.h>　　　　　定义关于时间的函数 #include <wchar.h>　　　　 宽字符处理及输入／输出 #include <wctype.h>　　　　宽字符分类 标准 C++。　 #include <algorithm>　　　 通用算法 #include <bitset>　　　　　 位集容器 #include <cctype> #include <cerrno> #include <clocale> #include <cmath> #include <complex>　　　　 复数类 #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <ctime> #include <deque>　　　　　 双端队列容器 #include <exception>　　　 异常处理类 #include <fstream> #include <functional>　　　 定义运算函数（代替运算符） #include <limits> #include <list>　　　　　　 线性列表容器 #include <map>　　　　　　 映射容器 #include <iomanip> #include <ios>　　　　　　基本输入／输出支持 #include <iosfwd>　　　　输入／输出系统使用的前置声明 #include <iostream> #include <istream>　　　　 基本输入流 #include <ostream>　　　　 基本输出流 #include <queue>　　　　　 队列容器 #include <set>　　　　　　 集合容器 #include <sstream>　　　　 基于字符串的流 #include <stack>　　　　　 堆栈容器　　　　 #include <stdexcept>　　　 标准异常类 #include <streambuf>　　　底层输入／输出支持 #include <string>　　　　　字符串类 #include <utility>　　　　 通用模板类 #include <vector>　　　　 动态数组容器 #include <cwchar> #include <cwctype> C99 增加 #include <complex.h>　　复数处理 #include <fenv.h>　　　　浮点环境 #include <inttypes.h>　　整数格式转换 #include <stdbool.h>　　 布尔环境 #include <stdint.h>　　　整型环境 #include <tgmath.h>　　通用类型数学宏

数学运算 主要的函数都定义在main.h文件中

函数原型	功能
float fabs(float x);	求浮点数x的绝对值
int abs(int x);	求整数x的绝对值
float acos(float x);	求x（弧度表示）的反余弦值
float asin(float x);	求x（弧度表示）的反正弦值
float atan(float x);	求x（弧度表示）的反正切值
float atan2(float y, float x);	求y/x（弧度表示）的反正切值
float ceil(float x);	求不小于x的最小整数
float cos(float x);	求x（弧度表示）的余弦值
float cosh(float x);	求x的双曲余弦值
float exp(float x);	求e的x次幂
float floor(float x);	求不大于x的最达整数
float fmod(float x, float y);	计算x/y的余数
float frexp(float x, int *exp);	把浮点数x分解成尾数和指数。
float ldexp(float x, int exp);	装载浮点数。
float modf(float num, float *i);	将浮点数num分解成整数部分和小数部分
float hypot(float x, float y);	对于给定的直角三角形的两个直角边，求其斜边的长度
float log(float x);	计算x的自然对数
float log10(float x);	计算x的常用对数
float pow(float x, float y);	计算x的y次幂
float pow10(float x);	计算10的x次幂
float sin(float x);	计算x（弧度表示）的正弦值
float sinh(float x);	计算x（弧度表示）的双曲正弦值
float sqrt(float x);	计算x的平方根
float tan(float x);	计算x（弧度表示）的正切值
float tanh(float x);	求x的双曲正切值
double cabs(struct complex z);	计算复数的绝对值
char *cgets(char *str);	从控制台读字符串
div_t (int number, int denom);	将两个整数相除, 返回商和余数
long dostounix(struct date *dateptr, struct time *timeptr);	转换日期和时间为UNIX时间格式
void rand(void);	随机数发生器
void randomize(void);	初始化随机数发生器

文件和目录操作

函数原型	功能
int chdir(const char *path);	改变工作目录
int chmod(const char *filename, int permiss);	改变文件的访问方式
int chsize(int handle, long size);	改变文件大小
void clearerr(FILE *stream);	复位错误标志
int close(int handle);	关闭文件句柄
int creat (const char *filename, int permiss);	创建一个新文件或重写一个已存在的文件
int creatnew(const char *filename, int attrib);	创建一个新文件
int dup(int handle);	复制一个文件句柄
int eof(int *handle);	检测文件结束
int fclose(FILE *stream);	关闭一个流
int fcloseall(void);	关闭打开流
FILE *fdopen(int handle, char *type);	把流与一个文件句柄相接
int feof(FILE *stream);	检测流上的文件结束符
int ferror(FILE *stream);	检测流上的错误
int fflush(FILE *stream);	清除一个流
int fgetc(FILE *stream);	从流中读取字符
int fgetchar(void);
int fgetpos(FILE *stream);	取得当前文件的句柄
char *fgets(char *string, int n, FILE *stream);	从流中读取一字符串
long filelength(int handle);	取文件长度字节数
int findfirst(char *pathname, struct ffblk *ffblk, int attrib);	搜索磁盘目录; 取得下一个匹配的findfirst模式的文件
int flushall(void);	清除所有缓冲区
void fnerge(char *path, char *drive, char *dir);	建立新文件名
FILE *fopen(char *filename, char *type);	打开文件
int fprintf(FILE *stream, char *format[, argument,…]);	传送格式化输出到一个流中
int fputc(int ch, FILE *stream);	送一个字符到一个流中
int fputchar(char ch);	送一个字符到标准输出流(stdout)中
int fputs(char *string, FILE *stream);	送一个字符到一个流中
int fread(void *ptr, int size, int nitems, FILE *stream);	从一个流中读数据
FILE *freopen(char *filename, char *type, FILE *stream);	替换一个流
int fscanf(FILE *stream, char *format[,argument…]);	从一个流中执行格式化输入
int fseek(FILE *stream, long offset, int fromwhere);	重定位流上的文件指针
int fsetpos(FILE *stream, const fpos_t *pos);	定位流上的文件指针
int fstat(char *handle, struct stat *buff);	获取打开文件信息
long ftell(FILE *stream);	返回当前文件指针
int fwrite(void *ptr, int size, int nitems, FILE *stream);	写内容到流中
int getcurdir(int drive, char *direc);	取指定驱动器的当前目录
char *getcwd(char *buf, int n);	取当前工作目录
int getdisk(void);	取当前磁盘驱动器号
void getfat(int drive, struct fatinfo *fatblkp);	取文件分配表信息
int lock(int handle, long offset, long length);	设置文件共享锁
long lseek(int handle, long offset, int fromwhere);	移动文件读/写指针
int mkdir(char *pathname);	建立一个目录
int read(int handle, void *buf, int nbyte);	从文件中读
int remove(char *filename);	删除一个文件
int rename(char *oldname, char *newname);	重命名文件
int write(int handel, void *buf, int nbyte);	写到一文件中
int vfprintf(FILE *stream, char *format, va_list param);	送格式化输出到一流中
int vfscanf(FILE *stream, char *format, va_list param);	从流中执行格式化输入
int vprintf(char *format, va_list param);	送格式化输出到stdout中
int vscanf(char *format, va_list param);	从stdin中执行格式化输入
int vsprintf(char *string, char *format, va_list param);	送格式化输出到串中
int vsscanf(char *s, char *format, va_list param);	从流中执行格式化输入
int unlock(int handle, long offset, long length);	解除文件共享锁
long tell(int handle);	取文件指针的当前位置
FILE *tmpfile(void);	以二进制方式打开暂存文件
int setmode(int handle, unsigned mode);	设置打开文件方式
int sopen(char *pathname, int access, int shflag, int permiss);	打开一共享文件

事件和日期

函数原型	功能
clock_t clock(void);	确定处理器时间
double difftime(time_t time2, time_t time1);	计算两个时刻之间的时间差
void getdate(struct *dateblk);	取DOS日期
int getftime(int handle, struct ftime *ftimep);	取文件日期和时间
void gettime(struct time *timep);	取得系统时间
struct tm *gmtime(long *clock);	把日期和时间转换为格林尼治标准时间(GMT)
struct tm *localtime(long *clock);	把日期和时间转变为结构
void tzset(void);	UNIX时间兼容函数
logn time(long *tloc);	取一天的时间
void settime(struct time *timep);	设置系统时间
int setftime(int handle, struct ftime *ftimep);	设置文件日期和时间

进程操作

函数原型	功能
int execl(char *pathname, char *arg0, arg1, …, argn, NULL);	装入并运行其它程序的函数
int raise(int sig);	向正在执行的程序发送一个信号
void exit(int retval);	结束程序
void abort(void);	异常终止一个进程

内存分配

函数原型	功能
void *malloc(unsigned int num_bytes);	分配长度为num_bytes字节的内存
void *calloc(int num_elems, int elem_size);	为具有num_elems个长度为elem_size元素的数组分配内存
void *realloc(void *mem_address, unsigned int newsize);	改变mem_address所指内存区域的大小为newsize长度
void free(void *p);	释放指针p所指向的的内存空间
void far *farcalloc(unsigned long units, unsigned ling unitsz);	对远堆内存进行操作

字符串处理

函数原型	功能
int bcmp(const void *s1, const void *s2, int n);	比较字符串s1和s2的前n个字节是否相等,相同返回0否则返回非0,不检查空指针
void bzero(void *s, int n);	置字节字符串s的前n个字节为零
void bcopy(const void *src, void *dest, int n);	将字符串src的前n个字节复制到dest中,bcopy不检查字符串中的空字节NULL，函数没有返回值
void *memccpy(void *dest, void *src, unsigned char ch, unsigned int count);	由src所指内存区域复制不多于count个字节到dest所指内存区域，如果遇到字符ch则停止复制,返回指向字符ch后的第一个字符的指针，如果src前n个字节中不存在ch则返回NULL
void *memcpy(void *dest, void *src, unsigned int count);	由src所指内存区域复制count个字节到dest所指内存区域
void *memchr(void *buf, char ch, unsigned count);	从buf所指内存区域的前count个字节查找字符ch
int memcmp(void *buf1, void *buf2, unsigned int count);	比较内存区域buf1和buf2的前count个字节，
当buf1buf2时，返回值>0
int memicmp(void *buf1, void *buf2, unsigned int count);	比较内存区域buf1和buf2的前count个字节但不区分字母的大小写
void *memmove(void *dest, const void *src, unsigned int count);	由src所指内存区域复制count个字节到dest所指内存区域
void *memset(void *buffer, int c, int count);	把buffer所指内存区域的前count个字节设置成字符
void setmem(void *buf, unsigned int count, char ch)	把buf所指内存区域前count个字节设置成字符ch
void movmem(void *src, void *dest, unsigned int count);	由src所指内存区域复制count个字节到dest所指内存区域
char *stpcpy(char *dest,char *src);	把src所指由NULL结束的字符串复制到dest所指的数组中src和dest所指内存区域不可以重叠且dest必须有足够的空间来容纳src的字符串。
返回指向dest结尾处字符(NULL)的指针。
char *strcpy(char *dest,char *src);	把src所指由NULL结束的字符串复制到dest所指的数组中,src和dest所指内存区域不可以重叠且dest必须有足够的空间来容纳src的字符串。
返回指向dest的指针。
char *strcat(char *dest,char *src);	把src所指字符串添加到dest结尾处(覆盖dest结尾处的’\0′)并添加’\0′
char *strchr(char *s,char c);	查找字符串s中首次出现字符c的位置返回首次出现c的位置的指针，如果s中不存在c则返回NULL
int strcmp(char *s1,char * s2);	当s1s2时，返回值>0
int stricmp(char *s1,char * s2);	比较字符串s1和s2，但不区分字母的大小写
int strcspn(char *s1,char *s2);	在字符串s1中搜寻s2中所出现的字符
char *strdup(char *s);	复制字符串s
int strlen(char *s);	计算字符串s的长度
char *strlwr(char *s);	将字符串s转换为小写形式
char *strupr(char *s);	将字符串s转换为大写形式
char *strncat(char *dest,char *src,int n);	把src所指字符串的前n个字符添加到dest结尾处(覆盖dest结尾处的’\0′)并添加’\0′
int strcmp(char *s1,char * s2，int n)	比较字符串s1和s2的前n个字符。
int strnicmp(char *s1,char * s2，int n);	比较字符串s1和s2的前n个字符但不区分大小写
extern char *strncpy(char *dest, char *src, int n);	把src所指由NULL结束的字符串的前n个字节复制到dest所指的数组
char *strpbrk(char *s1, char *s2);	在字符串s1中寻找字符串s2中任何一个字符相匹配的第一个字符的位置，空字符NULL不包括在内
char *strrev(char *s);	把字符串s的所有字符的顺序颠倒过来（不包括空字符NULL）。
char *strset(char *s, char c);	把字符串s中的所有字符都设置成字符c
char *strstr(char *haystack, char *needle);	从字符串haystack中寻找needle第一次出现的位置（不比较结束符NULL)。
char *strtok(char *s, char *delim);	分解字符串为一组标记串。s为要分解的字符串，delim为分隔符字符串。
char *gcvt(double value, int ndigit, char *buf);	把浮点数转换成字符串

系统函数

函数原型	功能
void clrscr(void);	清屏
void TextOut(int x, int y, char *str, int mode);	在屏幕上指定位置输出字符串
void block(int left, int top, int right, int bottom, int mode);	在屏幕上画一矩形并填充
void cursor(int mode);	设定光标形态
void delay(unsigned int msec);	短暂延时
void sleep(unsigned int sec);
void textmode(int mode);	设定屏幕模式
void get_eng_font(char ch, char *buf, int mode);	取英文字符的点阵
void get_chi_font(char *str, char *buf);	获取中文字符的点阵
int getkey(void);	功能同getchar
int getpixel(int x, int y);	返回屏幕上指定点的状态
void putpixel(int x, int y, int mode);	在屏幕的指定位置上画点
void gotoxy(int x, int y);	将光标移动到指定位置
void line(int left, int top, int right, int bottom, int mode);	在屏幕上画直线
void TextOut(int x, int y, char *str, int mode);	在屏幕上指定位置输出字符串
char *pyfc(char *str);	给定一个汉字str，查询对应的拼音
void rectangle(int left, int top, int right, int bottom, int mode);	在屏幕上画一矩形。
int time(struct tm *pTime);	取得系统时间
void write_chi_font(int x,int y,char *buf);	写汉字点阵
void write_eng_font(int x,int y,char *buf,int mode);	写英文字符的点阵
void SetDispBar(int sum, int cur);	显示滚动条
int kbhit(void);	检测按键检测键盘是否有键按下。如果有键按下，则返回对应键值；否则返回零。kbhit不等待键盘按键。无论有无按键都会立即返回。
int getchar(void);	从键盘上读取一个键，并返回该键的键值
void putchar(char c);	在屏幕上显示字符c
void printf(const char *format,…);	format指定输出格式，后面跟要输出的变量
目前printf支持以下格式：
%c 单个字符
%d 十进制整数
%f 十进制浮点数
%o 八进制数
%s 字符串
%u 无符号十进制数
%x 十六进制数
%% 输出百分号%
一个格式说明可以带有几个修饰符，用来指定显示宽度，小数尾书及左对齐
int access(const char *filename, int amode);	确定文件的访问权限
int atexit(atexit_t func);	注册终止函数

类型转换

主要的函数都声明在ctyoe.h文件中

函数原型	功能
int iscntrl(int c);	判断字符c是否为控制字符当c在0x00-0x1F之间或等于0x7F(DEL)时，返回非零值，否则返回零
int isalnum(int c);	判断字符c是否为字母或数字
int isalpha(int c);	判断字符c是否为英文字母
int isascii(int c);	判断字符c是否为ascii码
int isblank(int c);	判断字符c是否为TAB或空格
int isdigit(int c);	判断字符c是否为数字
int isgraph(int c);	判断字符c是否为除空格外的可打印字符
int islower(int c);	判断字符c是否为小写英文字母
int isprint(int c);	判断字符c是否为可打印字符（含空格）
int ispunct(int c);	判断字符c是否为标点符号
int isspace(int c);	判断字符c是否为空白符
int isupper(int c);	判断字符c是否为大写英文字母
int isxdigit(int c);	判断字符c是否为十六进制数字
int toascii(int c);	将字符c转换为ascii码
int tolower(int c);	将字符c转换为小写英文字母
int toupper(int c);	将字符c转换为大写英文字母
double atof(const char *nptr);	把字符串转换成浮点数
int atoi(const char *nptr);	把字符串转换成长整型数
long atol(const char *nptr);
char ecvt(double value, int ndigit, int *decpt, int *sign);	把一个浮点数转换为字符串
char *itoa(int i);	把整数i转换成字符串

画图函数

函数原型	功能
void far bar(int left, int top, int right, int bottom);	画一个二维条形图
void far bar3d(int left, int top, int right, int bottom, int depth, int topflag);	画一个三维条形图
int bioscom(int cmd, char abyte, int port);	串行I/O通信
int bioskey(int cmd);	直接使用BIOS服务的键盘接口
int biosprint(int cmd, int byte, int port);	直接使用BIOS服务的打印机I/O
long biostime(int cmd, long newtime);	读取或设置BIOS时间
void *bsearch(const void *key, const void *base, size_t *nelem, size_t width, int(*fcmp)(const void *, const *));	二分法搜索
void far circle(int x, int y, int radius);	在给定半径以(x, y)为圆心画圆
void far cleardevice(void);	清除图形屏幕
void far closegraph(void);	关闭图形系统
void clreol(void);	在文本窗口中清除字符到行末
void clrscr(void);	清除文本模式窗口
struct COUNTRY *country(int countrycode, struct country *country);	返回与国家有关的信息
int cprintf(const char *format[, argument, …]);	送格式化输出至屏幕
void cputs(const char *string);	写字符到屏幕
int cscanf(char *format[,argument, …]);	从控制台执行格式化输入
char *ctime(const time_t *time);	把日期和时间转换为字符串
void ctrlbrk(*fptr)(void);	设置Ctrl-Break处理程序
void far detectgraph(int far *graphdriver, int far *graphmode);	通过检测硬件确定图形驱动程序和模式
void far drawpoly(int numpoints, int far *polypoints);	画多边形
void far ellipse(int x, int y, int stangle, int endangle, int xradius, int yradius);	画一椭圆
void far fillellipse(int x, int y, int xradius, int yradius);	画出并填充一椭圆
void far fillpoly(int numpoints, int far *polypoints);	画并填充一个多边形
void far floodfill(int x, int y, int border);	填充一个有界区域
int far getbkcolor(void);	返回当前背景颜色
int far getcolor(void);	返回当前画线颜色
int far getmaxx(void);	返回屏幕的最大x坐标
int far getmaxy(void);
void gettextinfo(struct text_info *inforec);	取得文本模式的显示信息
int far getpixel(int x, int y);	取得指定像素的颜色
void far getviewsettings(struct viewporttype far *viewport);	返回有关当前视区的信息

暴力出奇迹，骗分过样例。 数学先打表，ＤＰ看运气。 穷举ＴＬＥ，递推ＵＫＥ。 模拟ＭＬＥ，贪心还ＣＥ。 想要骗到分，就要有方法。 图论背模板，数论背公式。 动规背方程，高精背代码。 如果都没背，干脆输样例。

IOI常用术语: AC: Answer Accidently 意外的答案 CE：Compile Easily 轻松地通过编译 PC：Past Compile 通过编译 WA：Wonderful Answer 极好的答案 RE：Right Enough 太过正确 TLE: Time Limit Enough 时间充裕 MLE: Memory Limit Enough 内存充裕 OLE：Output Limit Enough 输出充裕 UKE: United Kingdom Error 大不列颠错误。 刷题是一种出路，枚举是一种思想，打表是一种勇气，搜索是一种信仰，剪枝是一种精神，骗分是一种日常，爆零是一种宿命，WA是一种绝望，TLE是一种痛苦，吊打是一种必然，RE是一种放弃，UKE是一种无奈，AC是一种原谅，AK是一种理想，弃赛是一种颓废，进队是一种奢望，NOI是一种幻想，IOI是至高境界。

北冥有鱼，其名为鲲。鲲之大，long long 存不下。 化而为鸟，其名为鹏。鹏之大，高精会爆炸。

人生如此复杂，机会多得像稠密图，我们没理由认输。尽管我们走不了最短路，但图仍是连通图，TLE之前，没有一个节点叫失败。

人生就像动态规划，你的一个又一个阶段是由上天安排的，而你，决定的是在这一阶段可以由上一阶段的哪些状态转移而来。越勤奋，越幸运，并不代表这一次你决策的方向有多么优秀，而是代表着现在这个状态能够续写多少可能的结果

即得易见平凡，由上自证显然，留作习题答案略，读者自证不难。 反之亦然同理，推论自然成立，略去过程Q.E.D.，由上可知证毕。 暴力碾标算，n 方过百万。 乱搞出奇迹，骗分最神奇。您强归您强，神犇漫山岗。 您巨归您巨， OI 照大江。

双旋的splay，单旋的spaly。 不旋的saply，O(1)的asply

十年OI一场空，不开long long见祖宗。 模拟只会猜题意，贪心只能过样例；数学上来先打表，DP一般看规律；组合数学靠运气，计算几何瞎暴力；图论强行套模板，数论只会GCD；递推莫名UKE，递归堆栈往外溢；深搜茫然TLE，广搜队列MLE；二分查找总CE，叉堆结果必RE；高精算法找规律，做完全都OLE；数据结构干瞪眼，水题也都WA;长知识也不容易，考试一来全懵Ｂ！

AC=Answer Coarse=粗劣的答案 WA=Wonderful Answer=好答案 TLE=Time Limit Enough=时间充裕 MLE=Memory Limit Enough=内存充裕 CE=Compile Easily=轻松通过编译 RE=Run Excellently=完美运行 UKE=Unbelievably Keep Enough Score=难以置信地保持足够的分数 AU=All Unaccepted=全都不正确。

《黄鹤楼》 昔人已乘网络去，此地空余网络流。 网络一去不复返，代码千行空悠悠。 深搜历历TLE，广搜萋萋MLE。 最大流它何处是，费用流它使人愁。 《满江红》 怒发冲冠，凭栏处、潇潇雨歇。抬望眼，满天UKE，怒火激烈。三十WA尘与土，八千RE云和月。莫抄袭，丢AC记录，空悲切！ CE耻，犹未雪。蒟蒻恨，何时灭！驾电脑，踏破题目列表。闭眼不会Hello world，笑谈不懂头文件。待从头、收拾A+B，还不会。 《将进酒》 君不见，洛谷之题天上来，复杂到海不舍回。 君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。 人生重在写算法，莫使电脑空对题。 天生洛谷必有用，千方百计还CE。 AC一点且为乐，会须一刷三百WA。 吾团友，牛大佬， 将刷题，手莫停！！！ 《如梦令·常记溪亭日暮》 模拟比赛好难，感觉自己要完。 无奈翻样例，数据令人胆寒。 太难，太难，打爆两个键盘。 《水调歌头·初赛》 辛丑中秋，题目过难，忧愁，作此篇。 明月几时有？程序读不懂。不知能否入围，今夕是何年。我欲明年再考，又恐再次不过，不胜受批也。程序完不成，只考五十分。 转六层，低绮户，照无眠。不应有恨，何事不向过时圆？人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。但愿过初赛，复赛共婵娟。 《望AC》 代码夫如何， AC 青未了。 DP 知方程，键盘光标舞。 贪心最优解，二分加打表。 暴力还 AC ，二叉不得了。 《渔家傲·搜索》 费心思考超时限，深搜广搜如双剑。样例能过莫夸赞，引人叹。忘把枝剪常功半。 二十万搜时空限，宽搜也得加判断。看过题解笑灿烂，苦掺半。图论动归惹人乱。

刷题岁月何时了，苦难知多少？程序昨夜又WA，代码不堪回首电脑中。测试点们应犹在，只是结果改。问君能有几多愁？恰似一群AC向东流。

100个美丽的数学定理 1，勾股定理

提出者：求出素勾股表的某古巴比伦数学家、商高或他以前的中国数学家、毕达哥拉斯

提出时间：约前18世纪、前11世纪、前6世纪

证明者：毕达哥拉斯、赵爽、刘徽

证明时间：前6世纪、3世纪

参考文献：欧几里得《几何原本》第1卷、赵爽《周髀算经注》、刘徽《九章算术刘注.勾股》、莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：在直角三角形中，以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和、或称两直角边的平方和等于斜边的平方【勾股各自乘，并，而开方除之，即弦（《九章算术.勾股.勾股术》）】（《几何原本》命题1.47，邹忌编译本第56页）。

2，棱锥体积公式

提出者：阿默斯或他以前的埃及数学家、德谟克利特、张苍或他以前的中国数学家

提出时间：约前17世纪、前5世纪、前2世纪

证明者：欧几里得、刘徽

证明时间：前4世纪、3世纪

参考文献：欧几里得《几何原本》第12卷命题7、刘徽《九章算术刘注.商功》、莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：体积S=柱体体积S*（1/3）=底面面积高（1/3）

3，奇数项奇数的和积定理

提出者：毕达哥拉斯

提出时间：前6世纪

证明者：欧几里得

证明时间：前4世纪

参考文献：欧几里得《几何原本》第9卷等

表达：奇数相加、如果它们的个数为奇数，那么其和也为奇数；奇数相乘，其乘积是奇数（《几何原本》命题9.23、9.29，邹忌编译本第320、323页）

4，算术基本定理

提出者：毕达哥拉斯

提出时间：前6世纪

证明者：欧几里得

证明时间：前4世纪

参考文献：欧几里得《几何原本》第7卷、莫宗坚《代数学》、冯克勤《代数数论》等

表达：任意大于1的有理整数a皆可分解成正素数的连乘积a=Π（对i）pi，在这个连乘积中、正素数pi的次序自然可以调换。除此之外，这个连乘积是唯一的。【莫宗坚《代数学》定理1.5，上册第10页】

5，圆的定点定长定理

提出者：墨翟、欧几里得

提出时间：前5世纪、前4世纪

证明者：欧几里得、后墨学派

证明时间：前4世纪、前3世纪

参考文献：《墨子.墨经》、欧几里得《几何原本》第3卷命题9等

表达：圆，一中同长也（《墨子.经》）。

6，比例可传递性定理

提出者：欧多克索斯

提出时间：前5世纪

证明者：欧几里得

证明时间：前4世纪

参考文献：欧几里得《几何原本》第5卷等

表达：凡与同一个比相同的比，彼此相同（《几何原本》命题5.11，邹忌编译本第165页）。

7，素数无穷性定理

提出者：欧几里得

提出时间：前4世纪

证明者：欧几里得、欧拉等

证明时间：前4世纪、18世纪

参考文献：欧几里得《几何原本》第9卷等

表达：预先给定几个素数，那么有比它们更多的素数（《几何原本》命题9.20，邹忌编译本第317页）。

8，圆面积公式

提出者：阿默斯或他以前的埃及数学家、阿基米德或他以前的希腊数学家、张苍或他以前的中国数学家、约翰尼斯.开普勒

提出时间：前17世纪、前3世纪、前2世纪、17世纪

证明者：阿基米德、刘徽、约翰尼斯.开普勒

证明时间：前3世纪、3世纪、1615年

参考文献：阿基米德《圆的度量》、刘徽《九章算术刘注.少广》、约翰尼斯.开普勒《葡萄

酒桶的立体几何》、莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：圆面积S=πr^2

9，（嵌在3维空间的2维闭）球体积公式

提出者：阿基米德、张苍或他以前的中国数学家、刘徽

提出时间：前3世纪、前2世纪、3世纪

证明者：阿基米德、祖景烁

证明时间：前3世纪、6世纪

参考文献：阿基米德《论球和圆柱》、刘徽《九章算术刘注.少广》、祖冲之父子《缀术》（转引在李淳风《九章算术李注.少广》）等

表达：V=4/3πr^3

10，刘徽-焦循原理

提出与证明者：刘徽

提出与证明时间：3世纪

推广者：焦循

推广时间：1796年

参考文献：刘徽《九章算术刘注》、焦循《加减乘除释》等

表达：阳马体积+鳖臑体积=堑堵体积，阳马体积：鳖臑体积=1。【吴文俊主编《中国数学史大系.东汉三国》第190页】

11，幂等积原理

提出与证明者：刘徽、祖景烁、博纳文图拉.卡瓦列里

提出与证明时间：3-6世纪、17世纪

参考文献：刘徽《九章算术刘注》、李淳风《九章算术李注》、莫里斯.克莱因《古今数学思

想》等

表达：缘幂势既同，则积不容异（《九章算术李注》所引《缀术》）。

12，孙子-秦九韶中国剩余定理

提出与证明者：孙子、秦九韶

提出与证明时间：约5世纪、1247年

推广者：诺特

推广时间：约1921年

参考文献：秦九韶《数书九章》、沈康身《中国数学史大系.两宋》、冯克勤《代数数论》等

表达：设整数m1,m2,…,m<n>两两互素，令m=Π（i从1到n）m，则对于任意的在区间[1，n]上的i，下列联立同余式有解：

x<j>=1（mod m<j>），

x<j>=0（mod m）,i不等于j；

令x=Σ(j从1到n)ajxj，则x适合下列的联立同余式：

x=aj（mod mj），j=1到n；

上列联立同余式的解即[x]m，于是其最小非负整数解是x对模m的主余数。【莫宗坚《代数学》定理1.10，上册第23页】

附，映射形式的孙子-秦九韶中国剩余定理：设m1、m2、…、m<n>为两两互素的整数，令m=Π（i从1到n）mi，令ψ：Zm到Π（i从1到n）Z<mi>为从Zm到直积Π（i从到n）Z<mi>的映射，其定义如下：ψ([a]m)=（[a]m1,[a]m2,…,[a]m<n>），则ψ为双射。【莫宗坚《代数学》定理1.11，上册第24页】

13，余弦定理

提出与证明者：欧几里得、海伦、秦九韶、弗朗索瓦.韦达

提出与证明时间：前4世纪、1世纪、13世纪、16世纪

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、《中国数学史大系》等

表达：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

14，共轭复根定理

提出与证明者：弗朗索瓦.韦达

提出与证明时间：16世纪

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：对一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 ，x1+x2=-b/a、x1x2=c/a

15，Meziriac-Bezout定理

提出与证明者：拜歇特.梅兹瑞卡、依艾蒂.贝祖

提出与证明时间：1624年、18世纪

参考文献：冯克勤《代数数论》、皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》等

表达：如果a，b属于整数集Z，则（a，b)=gcd（a，b）；特别地，a和b互素当且仅当存在u，v属于整数集Z，使得1=au+bv。【皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》基本文法，胥鸣伟译本、第一卷第4页】

16，拓扑学的Descartes-Euler公式

提出与证明者：勒内.笛卡尔、莱昂哈德.欧拉

提出与证明时间：1640年、1753年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X(P)是多面体P的欧拉示性数

17，二项式定理

提出与证明者：贾宪、阿尔.卡西、布莱斯.帕斯卡、艾萨克.牛顿等

提出与证明时间：11世纪、15世纪、1654年、1665年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、沈康身《中国数学史大系.两宋》等

表达：(x+y)^n=Σ（i从n到0、j从0到n）n!/i!(n-i)!*（x^i * y^j）

18，Newton-Leibniz微积分基本定理

提出与证明者：艾萨克.牛顿、戈特弗雷德.莱布尼兹

提出与证明时间：1666年、1677年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：∫（从a到b）f（x）dx=F（b）-F（a）

19，对称多项式的Newton公式

提出与证明者：艾萨克.牛顿

提出与证明时间：1707年

参考文献：艾萨克.牛顿《普遍算术》、丘维声《高等代数》等

表达：当k在[1，n]时，sk-σ1s<k-1>+σ2s<k-2>+…+（-1）^（k-1）σ<k-1>s1+（-1）^（n）σns<k-n>=0；

当k>n时，sk-σ1s<k-1>+σ2s<k-2>+…+（-1）^（n-1）σ<n-1>s<k-n+1>+（-1）^nσns<k-n>=0。【附：幂和sk是指n元对称多项式sk（x1,x2,…,xn）=x1^k+x2^k+…+xn^k，k=0,1,2,…】【丘维声《高等代数》，下册第125页】

20，Taylor公式

提出与证明者：布鲁克.泰勒

提出与证明时间：1712年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、让.迪厄多内《现代分析基础》、亨利.嘉当《微分学》等

表达：f（x）=Σ（i从n到0，j从0到n）（f^j【指导数阶数】（a） * （x-a）^i/j！ +Ri（x）

21，Femart-Euler互素小定理

提出与证明者：皮埃尔.费马、莱昂哈德.欧拉

提出与证明时间：1636年-1736年

参考文献：安德烈.韦伊《数论：从汉谟拉比到勒让德》、莫宗坚《代数学》、皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》等

表达：设a与m互素，则有a^（ψ（m））=1（mod m），特别地、若m=素数p，有a^（p-1）=1(mod p)。【莫宗坚《代数学》定理1.7、1.8，上册第18-19页】

22，Wilson定理

提出与证明者：约翰.威尔逊

提出与证明时间：18世纪

参考文献：莫宗坚《代数学》等

表达：设p为素数，则（p-1）!=-1(mod p)。【莫宗坚《代数学》定理1.9，上册第20页】

23，Euler辐角公式

提出与证明者：莱昂哈德.欧拉

提出与证明时间：18世纪

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、亨利.嘉当《解析函数论初步》、钟玉泉《复变函数论》、焦红伟等《复变函数与积分变换》等

表达：e^（ix）=cosx+ isinx

24，Lagrange四平方和定理

提出与证明者：皮埃尔.费马、莱昂哈德.欧拉、约瑟夫.拉格朗日

提出与证明时间：17-18世纪、1770年

参考文献：胡俊美《二元二次型的发展》等

表达：每个正整数都是不多于四个的平方数之和。【胡俊美《二元二次型的发展》第12页】

25，群论的Lagrange定理

提出与证明者：约瑟夫.拉格朗日

提出与证明时间：1770年

参考文献：莫宗坚《代数学》、丘维声《群表示论》等

表达：如果G为有限群，而H为G的子群，则o（G）=[G:H].o(H)。【莫宗坚《代数学》定理2.4，上册第66页】

26，Lagrange二次型定理

提出与证明者：约瑟夫.拉格朗日

提出与证明时间：1773年

参考文献：胡俊美《二元二次型的发展》等

表达：若一个数可以表示成型ax^2+bxy+cy^2，其中x=x0、y=y0，且（x0,y0）=1，令r是这个数的一个因子，则r可以用一个型AX^2+BXY+CY^2表出，其中X=X0、Y=Y0，且（X0，Y0）=1；另外，有B^2-4AC=b^2-4ac。【胡俊美《二元二次型的发展》第13页】

27，二次互反律

提出者：莱昂哈德.欧拉、阿德里昂.勒让德

证明者：卡尔.高斯

提出与证明时间：1783-1796年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、冯克勤《代数数论简史》等

表达：对勒让德符号下的奇素数p、q，（p/q）.（q/p）=（-1）^（（p-1）（q-1）/4）；

即，设p和q是不同的奇素数，则：

1）p|/a时，（a/p）=a^（p-1/2）(mod p)；

2）（-1/p）=（-1）^（（p-1）/2）=1（若p=1 (mod 4)）或-1（若p=3 (mod 4)）；

3）(p/q)(q/p）=(-1)^(（（p-1）/2)((q-1)/2）)；

4）（2/p）=(-1)^(（p^2-1）/8)=1（若p=1或-1（mod 8））或-1（若p=3或-3 （mod 8））。【冯克勤《代数数论》定理2.16，第84页】

附，Abel数域中的互反律：设K是Abel数域，f（K）是它的导子，p和p'是两个素数，且：（p,f(K)）=(p'，f（K))=1；如果p=p'（mod f(K)）,则p和p’在K中有相同的分解型式。【冯克勤《代数数论》定理2.18，第90页】

28，Lagrange微分中值定理

提出者：博纳文图拉.卡瓦列里、皮埃尔.费马

证明者：约瑟夫.拉格朗日

推广与证明者：奥古斯丁.柯西

提出与证明时间：1635年、1637年、1797年/1829年

表达：如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续、在开区间(a,b)内可导、在区间端点处的函数值相等（即f(a)=f(b)），那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0。

29，代数基本定理

提出与证明者：让.达朗贝尔、约瑟夫.拉格朗日、卡尔.高斯等

提出与证明时间：18世纪、1799年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、丘维声《高等代数》等

表达：代数基本定理：每个次数大于0的复系数多项式在复数域中至少有一个根。【丘维声《高等代数》定理7.6.6，下册第63页】

30，Cauchy-Riemann方程

提出与证明者：让.达朗贝尔、莱昂哈德.欧拉、奥古斯丁.柯西、波恩哈德.黎曼

提出与证明时间：1752年、1777年、1814年/1851年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、钟玉泉《复变函数论》、詹红伟等《复变函数与积分变换》等

表达：在一对实值函数和u（x,y）和v（x,y）上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：(1)u对x的偏导=v对y的偏导；(2)u对y的偏导=v对x的偏导；它们是函数在一点可微的必要条件。

31，闭区间上连续函数的Bolzano介值定理

提出与证明者：伯纳德.波尔查诺、奥古斯丁.柯西

提出与证明时间：1817年、1821年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、邝荣雨等《数学分析》等

表达：如果一个连续函数在闭区间内有相反符号的值，那么它在该区间内有根存在。

32，Abel-Ruffini定理

提出与证明者：泡洛.鲁菲尼、尼尔斯.阿贝尔

提出与证明时间：1793年-1824年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：大于5次的代数方程没有通用根式解。

33，Cauchy积分定理

提出与证明者：奥古斯丁.柯西

提出与证明时间：1825年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、詹红伟等《复变函数与积分变换》、钟玉泉《复变函数论》等

表达：如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的；或称，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。

34，Abel幂级数收敛（圆）定理

提出与证明者：尼尔斯.阿贝尔

提出与证明时间：1826年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、钟玉泉《复变函数论》等

表达：如果幂级数在点x0处（x0不等于0）收敛，则对于适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛；如果幂级数在点x1处发散，则对于适合不等式|x|>|x1|的一切x使这幂级数发散。

35，微分几何的Gauss绝妙定理

提出与证明者：卡尔.高斯

提出与证明时间：1827年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、达纳.麦肯齐《无言的宇宙》等

表达：如果两张曲面能够彼此建立一一对应，也就是说，如果u'=φ(u,v)，v'=φ(u,v)，其中u'和v'是第二张曲面上的点坐标，且如果两张曲面在对应点的距离元素相同，即如果Edu^2+2Fdudv+Gdv^2=E'du'^2+2F'du'dv'+G'dv'^2，其中E、F、G是u和v的函数，E'、F'、G'是u'和v'的函数，则这两张曲面称为等距的，它们必有相同的几何。【《古今数学思想》邓东皋等译本第3册第65页】

36，Galois模剩余类域有限定理

提出与证明者：埃瓦里斯特.伽罗瓦

提出与证明时间：1830年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、丘维声《高等代数》等

表达：模p剩余类域有限定理：设p是任一素数，则Zp=Z/（p）是一个域，它是含p个元素的有限域。【任一Z中整数被m除所得余数只有m种不同的可能性：0,1,…,m-1，所以整数集Z被划分为m个剩余类，这m个剩余类组成的集是Z对于关系“模m同余”的商集，记作Z/(m)或Z/mZ；容易验证、它对于相应加法与乘法运算成为一个有单位元的交换环】【丘维声《高等代数》定理7.14.1，下册第148-150页】

37，Galois定理

提出与证明者：埃瓦里斯特.伽罗瓦

提出与证明时间：1830年

参考文献：莫宗坚《代数学》等

表达：任取非常数的多项式f（x）属于K[x]，设f（x）对K的分裂域为L，则f（x）可以用根号求解的充要条件是G（L/K）是可解群。【莫宗坚《代数学》定理5.30，上册第366页】

38，Mobius反演公式

提出与证明者：奥古斯特.莫比乌斯

提出与证明时间：1832年

参考文献：冯克勤《代数数论》等

表达：设f和g：P→R是两个数论函数，则：f（n）=Σ（d|n）g(d)(n=1、2、…)等价于g（n）=Σ（d|n）f（d）μ（n/d）（n=1、2、…）。【冯克勤《代数数论》引理3，第136页】

39，代数曲线的Plucker公式

提出与证明者：尤里乌斯.普吕克

提出与证明时间：1837-1839年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：n为曲线阶数、k为类数、d是二重点（一种奇点，在哪里两条切线不相同）的个数、r是尖点的个数，在线曲线中，二重点对应于二重切线（一条二重切线其实两个不同的点处的切线）、其个数设为t，尖点对应于密接切线（在拐点穿过曲线的切线）、其个数设为w，有：

k=n（n-1)-2d-3r；n=k（k-1)-2t-3w；w=3n（n-2）-6d-8r；r=3k（k-2）-6t-8w；

每种元素的个数都包括实的和虚的在内。【《古今数学思想》邓东皋译本第3册第39页】

40，Lioville定理

提出与证明者：约瑟夫.刘维尔

提出与证明时间：1844年

参考文献：丘维声《高等代数》等

表达：Lioville定理：若函数f（z）在复平面C上解析，并且有界，则f（z）必为一常值函数。【丘维声《高等代数》定理7.6.7，下册第63页】

41，Dirichlet单位定理

提出与证明者：约翰.彼得.狄利克雷

提出与证明时间：1846年

参考文献：冯克勤《代数数论》、冯克勤《代数数论简史》等

表达：设K为n次数域，K到C中有r1个实嵌入和r2对复嵌入，r1+2r2=n，则Uk=Wk与Vk的直积，其中Wk是K中的单位根群（有限循环群），而Vk是秩为r=r1+r2-1的自由Abel群。【冯克勤《代数数论》定理3.6，第113页】

42，Kummer分圆域单位定理

提出与证明者：恩斯特.库默尔

提出与证明时间：1843-1847年

参考文献：冯克勤《代数数论》、冯克勤《代数数论简史》等

表达：分圆域K=Q（w）（w=ζ

^t）的每个单位都是实单位与单位根的乘积。【冯克勤《代数数论》引理15，第124页】

43，群的Cayley定理

提出与证明者：亚瑟.凯莱

提出与证明时间：1854年

参考文献：莫宗坚《代数学》、丘维声《高等代数》等

表达：Cayley定理：任何一个群都同构于一个变换群。【丘维声《高等代数》定理14.4.2，下册第427页】

44，Dedekind实数连续性定理

提出与证明者：尤里乌斯.理查德.戴德金

提出与证明时间：1858年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、胡作玄《戴德金》、邝荣雨等《数学分析》等

表达：对于实数域内的任一戴德金分割A|A'必有产生这分划的实数β存在。这数β或是下组A内的最大数，或是上组A'内的最小数。

45，Bolzano-Weierstrass致密性定理

提出与证明者：伯纳德.波尔查诺、卡尔.西奥多.维尔斯特拉斯

提出与证明时间：1860年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、邝荣雨等《数学分析》等

表达：有界数列必有收敛子列。

46，Dedekind整环中理想的唯一分解定理

提出与证明者：尤里乌斯.理查德.戴德金

提出与证明时间：1871年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、胡作玄《戴德金》、冯克勤《代数数论》、冯

克勤《代数数论简史》等

表达：Dedekind整环R中每个（非零）理想均可（不计次序）唯一地表成有限个素理想的乘积（规定R本身是0个素理想之积）。【冯克勤《代数数论》定理2.1，第34页】

47，素数p在代数扩域中分歧的Dedekind判别式定理

提出与证明者：尤里乌斯.理查德.戴德金

提出与证明时间：1872年

参考文献：胡作玄《戴德金》、冯克勤《代数数论》等

表达：有理素数P在数域K中分歧的充要条件是p|d（K）。【冯克勤《代数数论》定理2.10，第60页】

48，Sylow定理

提出与证明者：彼得.西罗、斐迪南.弗罗贝尼乌斯

提出与证明时间：1872年、1887年

参考文献：曹锡华等《群表示论》、皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》等

表达：设G是有限群，p是一个素数，则

1）存在 Sylow p-子群；

2）G的全部Sylow p-子群互相共轭；

3）G的每个p-子群都含在一个Sylow p-子群内。【曹锡华、叶家琛《群表示论》定理1.14，第12页】

49，本性奇点的Weierstrass定理

提出与证明者：卡尔.西奥多.维尔斯特拉斯

提出与证明时间：1876年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、潘丽云《魏尔斯特拉斯的复变函数思想分析》等

表达：设z0为函数f（z）的孤立奇点，则z0为f（z）的本性奇点的充分必要条件是：对于任何复数A(包括无穷)，一定存在收敛于z0的序列{z<n>}，使得lim（n→∞）f（Zn）=A；即在本性奇点的无论怎样小的邻环内，f（z）可以任意接近预先给定的任何有限数或趋于无穷。

．

50，Picard大定理

提出与证明者：查尔斯.皮卡

提出与证明时间：1879年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、钟玉泉《复变函数论》等

表达：如果z0为f（z）的本性奇点，则对于每一个有限复数 A(至多有一个例外值)，均有趋于z0的点列{z<n>}，使f（z<n>）=A（n属于N*）。

51，Jordan曲线定理

提出与证明者：卡米尔.若尔当

提出与证明时间：1882年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等

表达：.在欧氏平面Rz上，任意一条简单(即自身不相交)闭曲线J把平面分成两部分，使得在同一部分的任意两点，可用一条不与J相交的弧相连;在不同部分的两点若要相连，则连结的弧必须与J相交。

52，一般的Poincare单值化定理

提出与证明者：波恩哈德.黎曼、朱尔斯.亨利.庞加莱

提出与证明时间：1857-1883年

参考文献：邓冠铁《复分析》等

表达：唯一的单连通一维复流形为复平面、双曲平面、和黎曼球面。

53，Kronecker-Weber定理

提出者：利奥波德.克罗内克

提出时间：1877年

证明者：亨利希.韦伯

证明时间：1887年

参考文献：冯克勤《代数数论》、冯克勤《代数数论简史》等

表达：每个Abel数域都是某个分圆域的子域。【冯克勤《代数数论》，第88页】

54，Hilbert基定理

提出与证明者：大卫.希尔伯特

提出与证明时间：约1890年

参考文献：迈克尔.阿蒂亚等《交换代数导引》等

表达：如果A是Noether环，那么多项式环A[x]是Noether环。【《交换代数导引》定理7.5，冯绪宁等译本第106页】

55，Cauchy-Peano存在性定理

提出与证明者：朱塞佩.皮亚诺

提出与证明时间：1890年

参考文献：张芷芬等《微分方程定性理论》等

表达：略

56，Contor幂集定理

提出与证明者：格奥尔格.康托尔

提出与证明时间：1891年

参考文献：格奥尔格.康托尔《超穷数理论基础》、莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：任何集A都存在幂集，且其幂集的势严格大于A的势。

57，Poincare对偶定理

提出与证明者：朱尔斯.亨利.庞加莱

提出与证明时间：1895年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：对定向闭n维流形，b<k>=b<n-k>，k在[1,n-1]区间上。【《20世纪数学思想》第376页】

58，Minkwoski基本定理

提出与证明者：赫尔曼.闵可夫斯基

提出与证明时间：1896年

参考文献：冯克勤《代数数论》等

表达：

Minkowski基本定理：设H为R^n中的格，S是R^n中的Lebesgue可测子集（测度表示成μ（S））：1）如果μ（S）>V(H)，则存在s、s'属于S，s不等于s'，使得s-s'属于H；

2）如果S又为关于原点对称的凸集，则当μ（S）>2^nV(H)时，S交H中有非零向量；

3）如果S为关于原点对称的紧凸集，则当μ（S）>=2^nV（H）时，S交H中有非零向量。

【冯克勤《代数数论》定理3.1，第97页】

59，Hensel的p-adic展开定理

提出与证明者：库尔特.亨泽尔

提出与证明时间：约1899年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、华罗庚《数论导引》、冯克勤《代数数论简史》、莫宗坚《代数学》、皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》等

表达：任何一个有理整数D能够且只能够用一种方式表示成一个素数p的方幂之和。【《古今数学思想》邓东皋译本第3册第296页】

60，Baire纲定理

提出与证明者：勒内-路易.贝尔

提出与证明时间：1899年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》、让.迪厄多内《现代分析基础》等

表达：略

61，Hadamard线性泛函定理

提出与证明者：雅克.阿达玛

提出与证明时间：1903年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：泛函U[y（t）]是线性的，若当y（t）=λ1y1(t)+λ2y2(t)时，便有U[y（t）]=λ1U[y1(t)]+λ2U[y2(t)]，其中λ1、λ2是常数。【《古今数学思想》邓东皋译本第3册第234-235页】

62，Lebesgue控制收敛定理

提出与证明者：亨利.勒贝格

提出与证明时间：约1905年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、让.迪厄多内《现代分析基础》、邓冠铁《复分析》等

表达：略

63，Gram-Shmidt正交化引理

提出与证明者：厄哈德.施密特

提出与证明时间：1906-1907年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、让.迪厄多内《现代分析基础》、胡作玄等《20世纪数学思想》、赵焕光《泛函分析入门》、丘维声《高等代数》等

表达：设{xk}是内积空间X的线性无关子集，那么由{xk}必可作出标准正交系{ek}，使对任意n，都有：span{x1,x2,…,xn}=span{e1,e2,…,en}。【《泛函分析入门》第97页】

64，Fubini定理

提出与证明者：圭多.富比尼

提出与证明时间：1907年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、邓冠铁《复分析》、让.迪厄多内《现代分析基础》等

表达：略

65，Riesz-Fesher定理

提出与证明者：弗里杰什.里斯、恩斯特.费舍尔

提出与证明时间：1907年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：略

66，Hesel引理

提出与证明者：库尔特.亨泽尔

提出与证明时间：约1908年

参考文献：冯克勤《代数数论》、冯克勤《代数数论简史》等

表达：略

67，解析数论的Landau定理

提出与证明者：埃德蒙德.兰道

提出与证明时间：1909年

参考文献：冯克勤《代数数论》等

表达：设an>=0（n=1、2、…），级数F（s）=Σ（n从1到∞）a<n>n^（-s）在半平面Re（s）>c中收敛。如果函数F（s）在以s=c为中心的一个小圆内解析，则存在ε>0，使得级数Σ（n从1到∞）a<n>n^（-s）在半平面Re（s）>c-ε内收敛。特别地，若σ0为级数Σ（n从1到∞）a<n>n^（-s）的收敛横坐标，则函数F(s)在s=σ0处为奇点。【冯克勤《代数数论》定理4.2，第140页】

68，Riesz表示定理

提出与证明者：弗里杰什.里斯

提出与证明时间：1909年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、胡作玄等《20世纪数学思想》等

表达：略

69，Bruwer不动点定理

提出与证明者：鲁道夫.布劳威尔

提出与证明时间：1910年

参考文献：约翰.米尔诺《从微分观点看拓扑》、赵焕光《泛函分析入门》等

表达：略

70，Steinitz素域特征定理

提出与证明者：恩斯特.施泰尼兹

提出与证明时间：1910年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、丘维声《高等代数》等

表达：设F是一个域，其单位元记为e，则或者：对于一切正整数n都有ne不等于0，称该域的特征charF为0（如作为素域的有理数域以及它的完备化：实数域、复数域、p-adic数域）；或者：存在一个素数p，使得pe=0，而对一切区间（0，p）内的l、有le不等于0，称该域的特征charF=p（如作为素域的模p的剩余类域，及）。两者只居其一。【丘维声《高等代数》定理7.14.2、定义2，下册第151页】

71，Steinitz代数闭包定理

提出与证明者：恩斯特.施泰尼兹

提出与证明时间：1910年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》等

表达：所有的域K都有一个代数闭包。【《分析与代数原理（及数论）》胥鸣伟译本第93页】

72，Ostrowski定理

提出与证明者：亚历山大.奥特洛夫斯基

提出与证明时间：1916年

参考文献：冯克勤《代数数论》等

表达：设（F,P）是完备的阿基米德赋值域，则F同构于R或C，并且在这种同构之下，P是素除子∞。【冯克勤《代数数论》定理8.3，第269页】

73，高木形式的类域论主定理

提出与证明者：高木贞治

提出与证明时间：1920年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》、冯克勤《代数数论简史》等

表达：1）任何相对Abel扩张K/k都是k的某个理想类群H的类域；

2）对于任意理想类群H，存在H的类域；

3）H类域是唯一的。【《20世纪数学思想》第588页】

74，欧几里得环的辗转相除定理

提出与证明者：欧几里得、艾米.诺特

提出与证明时间：前4世纪、约1921年

参考文献：欧几里得《几何原本》、冯克勤《代数数论简史》等

表达：略

75，Banach不动点定理

提出与证明者：斯特凡.巴拿赫

提出与证明时间：约1922年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、胡作玄等《20世纪数学思想》、赵焕光《泛函分析入门》等

表达：略

76，Kuratowski-Zorn引理

提出与证明者：恩斯特.策梅罗、卡兹梅兹.库拉托夫斯基、麦克斯.佐恩

提出与证明时间：1922年/1935年

参考文献：迈克尔.阿蒂亚《交换代数导引》、莫宗坚《代数学》等,

表达：设S为一非空集，>=为S的半序，如果任意链皆有上限、则S犹一极大元素。【莫宗坚《代数学》，上册第5页】

77，Poincare-Hopf指标定理

提出与证明者：朱尔斯.亨利.庞加莱、厄伯哈德.霍普夫

提出与证明时间：1885年、1926年

参考文献：约翰.米尔诺《从微分观点看拓扑》、陈省身等《微分几何讲义》等

表达：在紧流形M（如果有边，则要求场w在所有边点上都指向外）具有孤立零点的某一个光滑向量场上的所有零点处的指数和等于Euler数：

χ(M)=Σ(i从0到m)（-1）^i秩H（M）；

特别地，这一指数和是M的一个拓扑不变量，不依赖于向量场的特殊选取。【《从微分观点看拓扑》熊金城译本第40页】

78，交换Nother环中理想的唯一分解定理

提出与证明者：艾米.诺特

提出与证明时间：约1926年

参考文献：迈克尔.阿蒂亚等《交换代数导引》等

表达：令a是一个可分解的理想，而a=∩（i从1到n）ai是a的极小准素分解，令pi=r（ai）（i在区间[1,n]上）。那么pi恰是在理想集r（a：x）（x属于A）中出现的素理想，因此与a的特殊分解无关；令a是一个可分解的理想，a=∩（i从1到n）ai是a的极小准素分解，令{pi1，…，pim}是a的素理想的孤立集，那么ai1∩…∩qim与分解无关。【迈克尔.阿蒂亚等《交换代数导引》冯绪宁等译本第71页】

79，Banach-Steinhaus共鸣定理

提出与证明者：斯坦凡.巴拿赫、劳伦斯.斯坦豪斯

提出与证明时间：1927年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、赵焕光《泛函分析入门》等

表达：略

80，Artin环的结构定理

提出与证明者：埃米尔.阿廷

提出与证明时间：约1927年

参考文献：迈克尔.阿蒂亚等《交换代数导引》等

表达：Artin环A是有限个Artin局部环的直积，此直积在同构意义下是唯一的。【《交换代数导引》定理8.7，冯绪宁等译本第120页】

81，线性空间的Hahn-Banach对偶空间定理

提出与证明者：汉斯.哈恩、斯坦凡.巴拿赫

提出与证明时间：1927年、1929年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、丘维声《高等代数》等

表达：线性函数空间的对偶空间定理：设V是域F上的n维线性空间，则V上所有线性函数组成的集Hom（V，F）也是域F上的n维线性空间，称它是V的对偶空间（或共轭空间），简记为V*，并且V同构于V。如果在V中取一个基a1,a2,…，an，那么由fi（aj）=克罗耐克记号（ij相等为1、ij不等为0）确定的线性函数a[上标1],a[上标2],…,a[上标n]是V中的一个基，称它是a1,a2,…,an的对偶基。【丘维声《高等代数》定理11.2.1，下册第309-310页】

82，Hahn-Banach延拓定理

提出与证明者：爱德华.海莱、汉斯.哈恩、斯坦凡.巴拿赫、约瑟夫.穆莱、让.迪厄多内

提出与证明时间：1912年、1927年、1929年；1936年、1940年

参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、胡作玄等《20世纪数学思想》、赵焕光《泛函分析入门》等

表达：略

83，关于二次型的Hasse局部-整体定理

提出与证明者：赫尔穆特.哈塞

提出与证明时间：约1930年

参考文献：冯克勤《代数数论》、冯克勤《代数数论简史》等

表达：数域K上的二次型方程在K上有解当且仅当其在每个阿基米德的或非阿基米德的局部域Kp上有解。【《代数数论简史》第80页】

84，解析映射的唯一性定理

提出与证明者：亨利.嘉当

提出与证明时间：1930年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等

表达：设D、D'为圆域，其中至少有一个为有界域，f：D→D'为把原点映到原点的全纯同构映射，则f是线性映射。【《20世纪数学思想》第547页】

85，Godel不完备性定理

提出与证明者：库尔特.哥德尔

提出与证明时间,1930-1931年

参考文献：王浩《逻辑之旅》、汪芳庭《数理逻辑》、赫伯特.安德顿《数理逻辑》等

表达：略

86，多复变函数的Cartan-Thullen定理

提出与证明者：亨利.嘉当、彼得.图仑

提出与证明时间：1932年

参考文献：萧荫堂等《多复变函数论》、胡作玄等《20世纪数学思想》等

表达：设G是C^n中的开集，则如下条件等价：

1）G是全纯域；

2）G是全纯凸的；

3）存在G上的一个全纯函数f，它的自然定义域是G。【萧荫堂、陈志华、钟家庆《多复变函数论》定理1.4，第5页】

87，Whitney球丛分类定理

提出与证明者：哈斯勒.惠特尼

提出与证明时间：1937年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等

表达：球丛的分类空间为Grassmann流形G<n,r>；底空间为B、秩为r的球丛同构类为[B，G<n,r>]、即B到G<n,r>映射的同构类（n>=r）。【《20世纪数学思想》第454页】

88，同伦论的Whitehead定理

提出与证明者：约翰.亨利.怀特海

提出与证明时间：1939年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等

表达：1.1）若f是n等价，则对r<n，f诱导的奇异同调群的同态f*：Hr（X，Z）→Hr（Y：Z）是双射，而对r=n是满射；

1.2）如果X，Y还都是单连通空间、则逆定理也成立；不过如果X、Y非单连通，则逆定理一般不成立；

2）如果X、Y是CW复合形，则任何弱同伦等价必定是同伦等价。

【《20世纪数学思想》第422页】

89，连通可解李群的Chevalley定理

提出与证明者：克劳德.谢瓦莱

提出与证明时间：1941年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等

表达：

90，Gauss-Bonnet-Chern定理

提出与证明者：卡尔.高斯、皮埃尔.博内、陈省身

提出与证明时间：约1827年、1848-1944年

参考文献：陈省身等《微分几何讲义》等

表达：略

91，Whitney嵌入定理

提出与证明：哈斯勒.惠特尼

提出与证明时间：1944年

参考文献：约翰.米尔诺《从微分观点看拓扑》、陈省身等《微分几何讲义》等

表达：略

92，Whitney和公式

提出者：哈斯勒.惠特尼

提出时间：1940年

证明者：吴文俊、陈省身

证明时间：1948年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等

表达：略

93，Grothendieck-Riemann-Roch定理

提出与证明者：波恩哈德.黎曼、古斯塔夫.罗赫、亚历山大.格罗滕迪克

提出与证明时间：1956年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等

表达：略

94，Artin概形的等价定理

提出与证明者：亚历山大.格罗滕迪克

提出与证明时间：1960年

参考文献：亚历山大.格罗滕迪克《代数几何学原理》等

表达：对于一个概形来说，以下诸条件是等价的：

1）X是Artin概形；

2）X是Noether概形，并且它的底空间是离散的；

3）X是Noether概形，并且它的底空间的点都是闭的（条件T1）。

若这些条件得到满足，则X的底空间是一个有限集，并且X的环A就是X在各点处的（Artin）局部环的直合；

特别地，如果X是域K上的代数概形，则以下诸条件是等价的：

1）X是Artin的；

2）X的底空间是离散的；

3）X的底空间是由有限个闭点组成的；

4）X的点都是闭的；

5）X同构于Spec A，其中A是一个有限秩K代数。

【《代数几何学原理.第1章概形语言》命题6.2.2、命题6.4.4，周健译本第143、148页】

95，Atiyah-Singer指标定理

提出与证明者：迈克尔.阿蒂亚、艾莎道尔.辛格等

提出与证明时间：约1962年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》、迈克尔.阿蒂亚《数学的统一性》、迈克尔.阿蒂亚等《论紧流形上椭圆算子的指标》等

表达：略

96，Penrose-Hawking测地不完备（奇点）定理

提出与证明者：罗杰.彭罗斯、斯蒂芬.霍金

提出与证明时间：1965、1967、1970

参考文献：斯蒂芬.霍金《时空的大尺度结构》、罗杰.彭罗斯《通向实在之路》等

表达：

“定理1（Penrose,1965c）

如果

（1）对所有零向量K【上标a】，R【下标ab】K【上标a】K【下标b】>=0（参见4.3）；

（2）U’内存在非紧Cauchy曲面H；

（3）U'内存在闭合俘获面T，

则时空（U'，g）不可能是零测地完备的。”

“定理2（Hawking和Penrose（1970））

如果

（1）对每一个非类空向量K，R【下标ab】K【上标a】K【上标b】>=0（参见4.3）；

（2）满足一般条件（4.4），即每条非类空测地线均包含

K【下标“[a”】R【下标“b]cd[e”】K【下标“f]”】K【上标c】K【上标d】不等于0

的一点，这里K是测地线的切向量；

（3）时序条件在U'上成立（即不存在闭合类时曲线）；

（4）至少存在下列条件之一：

（i）无边缘的紧致非时序集；

（ii）闭合俘获面；

（iii）点p，使在自p出发的每一条过去（或每一条未来）零测地线上，自p出发的零测地线的散度θ^变负；

则时空（U'，g）不是类时或零测地完备的。”

“定理3（Hawking（1967））

如果

（1）对每个非类空向量K，R【下标ab】K【上标a】K【上标b】>=0（参见4.3）；

（2）强因果性条件在（U'，g）上成立；

（3）存在p点的某个过去方向的单位类时向量W和正常数b，使得如果V是过p的过去方向的类时测地线的单位切向量，则在每条这样的测地线上，测地线的膨胀θ≡V【上标“a”下标“；a”】将在距离p点b/c内变得小于-3c/b，这里c≡-W【上标a】V【下标a】；

则存在过p的过去不完备非类空测地线。”

“定理4（Hawking（1967））

如果

（1）对每个非类空向量K，R【下标ab】K【上标a】K【上标b】>=0（参见4.3）；

（2）存在紧致类空三维曲面T（无边缘）；

（3）T的单位法线在T上处处收敛（或处处发散）；

则时空不是类时测地完备的。”

【S.霍金、G.埃利斯《时空的大尺度结构》第八章“时空奇点”第二节“奇点定理”，王文浩译本第245-255页】

97，高维代数簇的Weil-Deligne定理

提出者：安德烈.韦伊

提出时间：1948年

证明者：皮埃尔.德利涅

证明时间：1973年

参考文献：冯克勤《代数数论简史》等

表达：略

98，光滑定向单连通4维闭流形的Donaldson定理

提出与证明者：西蒙.唐纳森

提出与证明时间：1982年

参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等

表达：若M是光滑、定向、单连通、4维闭流形，具有正定交截形式u，则u等价于标准的对角形式。【《20世纪数学思想》第491页】

99，Femart-Wiles最后定理

提出者：皮埃尔.费马

提出时间：约1637年

证明者：安德鲁.怀尔斯等

证明时间：1995年

参考文献：冯克勤《代数数论简史》等

表达：若n大于2，方程x^n+y^n=z^n没有整数解。

100，Poincare-Perelman定理

提出者：朱尔斯.亨利.庞加莱

提出时间：1904年

证明者：格里戈里.佩雷尔曼

证明时间：2003年

参考文献：刘培杰等《从庞加莱到佩雷尔曼》、莫里斯.克莱因《古今数学思想》等

表达：单连通定向3维闭流形必同胚于3维球。【《古今数学思想》邓东皋译本第3册第323页】 作者：此妙彼妙妙义无殊 https://www.bilibili.com/read/cv7910572/ 出处：bilibili 一、集合与函数

内容子交并补集，还有幂指对函数。

性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，

若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。

底数非1的正数，1两边增减变故。

函数定义域好求。分母不能等于0，

偶次方根须非负，零和负数无对数;

正切函数角不直，余切函数角不平;

其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同;

图象互为轴对称，Y=X是对称轴;

求解非常有规律，反解换元定义域;

反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数;

函数性质看指数，奇母奇子奇函数，

奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;

图象第一象限内，函数增减看正负。

二、三角函数

三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割;

中心记上数字1，连结顶点三角形;

向下三角平方和，倒数关系是对角，

变成税角好查表，化简证明少不了。

二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。

两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。

和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，

保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。

条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。

公式顺用和逆用，变形运用加巧用;

1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，

幂升一次角减半，升幂降次它为范;

三角函数反函数，实质就是求角度，

先求三角函数值，再判角取值范围;

利用直角三角形，形象直观好换名，

简单三角的方程，化为最简求解集。

三、不等式

解不等式的途径，利用函数的性质。

对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。

数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。

求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。

非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。

图形函数来帮助，画图建模构造法。

四、数列

等差等比两数列，通项公式N项和。

两个有限求极限，四则运算顺序换。

数列问题多变幻，方程化归整体算。

数列求和比较难，错位相消巧转换，

取长补短高斯法，裂项求和公式算。

归纳思想非常好，编个程序好思考：

一算二看三联想，猜测证明不可少。

还有数学归纳法，证明步骤程序化：

首先验证再假定，从K向着K加1，

推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

五、复数

虚数单位i一出，数集扩大到复数。

一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

对应复平面上点，原点与它连成箭。

箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。

箭杆的长即是模，常将数形来结合。

代数几何三角式，相互转化试一试。

代数运算的实质，有i多项式运算。

i的正整数次慕，四个数值周期现。

一些重要的结论，熟记巧用得结果。

虚实互化本领大，复数相等来转化。

利用方程思想解，注意整体代换术。

几何运算图上看，加法平行四边形，

减法三角法则判;乘法除法的运算，

逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。

利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。

四条性质离不得，相等和模与共轭，

两个不会为实数，比较大小要不得。

复数实数很密切，须注意本质区别。

六、排列，组合，二项式定理

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。

与序无关是组合，要求有序是排列。

两个公式两性质，两种思想和方法。

归纳出排列组合，应用问题须转化。

排列组合在一起，先选后排是常理。

特殊元素和位置，首先注意多考虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。

排列组合恒等式，定义证明建模试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。

两条性质两公式，函数赋值变换式。

七、立体几何

点线面三位一体，柱锥台球为代表。

距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。

线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。

计算之前须证明，画好移出的图形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。

射影概念很重要，对于解题最关键。

异面直线二面角，体积射影公式活。

公理性质三垂线，解决问题一大片。

八、平面解析几何

有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，

参数方程极坐标，数形结合称典范。

笛卡尔的观点对，点和有序实数对，

两者—一来对应，开创几何新途径。

两种思想相辉映，化归思想打前阵;

都说待定系数法，实为方程组思想。

三种类型集大成，画出曲线求方程，

给了方程作曲线，曲线位置关系判。

四件工具是法宝，坐标思想参数好;

平面几何不能丢，旋转变换复数求。

解析几何是几何，得意忘形学不活。

图形直观数入微，数学本是数形学。

AC​：答案正确

​WA​：答案错误

​TLE​：时间超出题目限制

​MLE​：内存超出题目限制

​UKE​：未知错误

​CE​：编译错误

​RE​：运行错误

1.《西江月·夜行编程道中》

MLE别枝惊鹊，清风半夜鸣蝉。

稻花香里说丰年，听取WA声一片。

七八个星天外，两三点雨山前。 旧时茅店社林边，路转TLE忽见。

2.《难题楼》

昔人已乘AC去，此地空余难题楼。

AC一去不复返，白云千载空悠悠。

晴川历历编程树，芳草萋萋电脑洲。

日暮AC何处去，代码江上使人愁。

（注：“难”字读二声）

3.《编程》

你要听我一句劝，

千万不要做编程！

第一简单​a+b​，

原本轻松就​AC​，

不知老六何处来，

直接​WA、TLE、RTE​！

接下来就是​for、while​，

想要一层就搞定，

没想到只能二层、三层，

RTE必不可少！

更难一点是递归，

乍看感觉是“​递龟​”，

运行结果是​RTE​，

有时还会​编译错误​！

最难的就是这些：

​二分、树、深搜和广搜​，

还有​栈、队列和链表​，

以及sin、cos和tan等讨厌的数学函数，

十只手指头都数不完！

所以听我一句劝，

千万不要做编程！

4.《摸鱼诗》

不爱编程爱摸鱼，

摸鱼网站​​要看着​！

首先就是贪吃蛇，

我的世界不能少。

戏弄大家用蓝屏界面，

2048也能玩。

飞翔的小鸟真有趣，

时间太多就玩小黑屋。

这些网站要记住，

忘了无聊时​空悲切​！

5.《老师和小明的对话》

老师问：什么叫摔伤？

小明回：从楼上掉下来。

老师问：什么叫幸运？

小明回：楼下有个草堆。

老师问：什么叫不幸？

小明回：草堆上有个叉子。

老师问：什么叫希望？

小明回：没掉在叉子上。

老师问：什么叫绝望？

小明回：也没掉在草堆上。

老师问：什么叫多亏了？

小明回：掉在水里。

老师问：什么叫完蛋？

小明回：水里有鲨鱼。

老师问：什么叫幸好？

小明回：猎人在旁边一枪打中了鲨鱼。

老师问：什么叫结束？

小明回：猎人射的是散弹。

老师：什么叫上天眷顾？

小明：没射中你。

老师：什么叫大难临头？

小明：你不会游泳。

老师：什么叫万幸？

小明：你在浅水区。

老师：什么叫天要亡我？

小明：水里的海草缠住了脚。

老师：什么叫必有后福？

小明：海草一挣就断。

6.《学习用书》

第一阶段：

《信息学奥赛一本通》

《信息学分析讲义》

第二阶段：

《教你怎么不生气》

《佛经》

《老子》

《沉默的愤怒》

第三阶段：

《颈椎病康复指南》

《腰椎间盘突出日常护理》

《心脏病的预防与防治》

《高血压降压宝典》

《强迫症的自我恢复》

《精神病症状学》

第四阶段：

《活着》

第五阶段：

《复活》

7.《我会的事》

本人擅长Ai、Fw、Fl、Br、Ae、Pr、Id、Ps等软件的安装与卸载 精通CSS、JavaScript、PHP、ASP、C、C＋＋、C#、Java、Ruby、Perl、Lisp、python、Objective-C、ActionScript、Pascal等语言单词的拼写 熟悉Windows、Linux、Mac、Android、IOS、WP8等系统的开关机。

8.《人生》

人生如此复杂，机会多得像稠密图，我们没理由认输。尽管我们走不了最短路，但图仍是连通图，TLE之前，没有一个节点叫失败。

人生就像动态规划，你的一个又一个阶段是由上天安排的，而你，决定的是在这一阶段可以由上一阶段的哪些状态转移而来。越勤奋，越幸运，并不代表这一次你决策的方向有多么优秀，而是代表着现在这个状态能够续写多少可能的结果。

即得易见平凡，由上自证显然，留作习题答案略，读者自证不难。

反之亦然同理，推论自然成立，略去过程Q.E.D.，由上可知证毕。

9.《代码决定人生》

如果26个英文字母 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

分别等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

那么

Knowledge (知识)： K+N+O+W+L+E+D+G+E＝ 11+14+15+23+12+5+4+7+5=96%。

Workhard (努力工作）：W+O+R+K+H+A+R+D＝ 23+15+18+11+8+1+18+4 =98%。

也就是说知识和努力工作对我们人生的影响可以达到96％和98％。

Luck（好运） L+U+C+K＝12+21+3+11=47%。

Love（爱情） L+O+V+E＝12+15+22+5=54%。

看来，这些我们通常认为重要的东西却并没起到最重要的作用。

那么，什么可以决定我们100％的人生呢？

是Money（金钱）吗？

M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72%。

看来也不是。

是Leadership (领导能力)吗？

L+E+A+D+E+R+S+H+I+P=12+5+1+4+5+18+19+9+16=89%

还不是。

金钱，权力也不能完全决定我们的生活。那是什么呢？

其实，真正能使我们生活圆满的东西就在我们的代码里面！

IOSTREAM（输入输出流所在的头文件） =9+15+19+20+18+5+1+13=100%。

所以坚持写代码吧，

不写代码的话，

早晚有一天会​嘎​！

10.《做题方法》

暴力出奇迹，骗分过样例。

数学先打表，ＤＰ看运气。

穷举ＴＬＥ，递推ＵＫＥ。

模拟ＭＬＥ，贪心还ＣＥ。

想要骗到分，就要有方法。

图论背模板，数论背公式。

动规背方程，高精背代码。

如果都没背，干脆输样例。

11.《满（题）江红 · 怒发冲冠》

怒发冲冠，凭栏处、潇潇雨歇。

抬望眼，满天UKE，怒火激烈。

三十WA尘与土，八千RE云和月。

莫抄袭，没了AC记录，空悲切！

CE耻，犹未雪。蒟蒻恨，何时灭！

驾电脑，踏破题目列表。

闭眼不会Hello world，笑谈不懂头文件。

待从头、收拾A+B，还不会。

12.《oj趣事》

听说津津为课程烦恼 金明一家住进了新房

听说丁丁玩数字游戏 火柴棒能搭出新天地

听说校门外正在砍树 大家一起做靶形数独

听说旅行者在赚差价 潜伏者正在破译着密码

只有无尽的代码知道 津津摆脱了学习的烦恼

金明开心的走进商店 挑选着书桌和电脑

总有一种算法能够让你成功拿到分

无论是贪心还是动规或者将答案二分

思如泉涌掀起波涛又汇成一个新的算法

让所有TLE 所有MLE 激励着我们前行写代码

听说玩具小人藏眼镜 许多导弹早已逼近

听说两人在挑选客栈 火星上有能量项链

听说陶陶在采摘苹果 一只青蛙要从河边过

听说推销员走入胡同 杰瑞爬进了奶酪的小洞

只有无尽的代码知道 小人儿将眼镜藏进了书架

拦截者沉着地应对 依次将导弹击打

总有一种算法能够让你成功拿到分

无论是贪心还是动规或者将答案二分

思如泉涌掀起波涛又汇成一个新的算法

让所有TLE 所有MLE 激励着我们前行写代码

总有一种暴力能够让你成功出奇迹

无论是搜索或者打表又或者无脑枚举

思如泉涌掀起波涛又汇成一个新的算法

让所有TLE 所有MLE 激励着我们前行写代码

在路上~

啊~ 啊 ~ 啊 ~ 啊 ~

然而............

模拟只会猜题意，贪心只能过样例；

数学上来先打表，DP一般看规律。

组合数学靠运气，计算几何瞎暴力；

图论强行套模板，数论只会GCD。

递归递推伤不起，搜索茫然TLE；

分治做得像枚举，暴力枚举数第一。

数据结构干瞪眼，怒刷水题找信心；

涨姿势也不容易，考试一来全懵逼！

听说同学们在玩推理 小Z的袜子总配不齐

小渊和小轩正在传纸条，运输小队长正过独木桥；

旅行家预算最小的费用，明明迷上侦探沉迷推理；

丁丁玩数字游戏着了迷，陶陶兴高采烈地摘苹果；

校门外一棵棵树长起来，辰辰和师傅一起去采药；

小青蛙踩着石头过了河，老师带领同学传球游戏；

小渊的立体图严格摆放，明明正乱猜一堆随机数；

金明激动地装修着新房，Jam正用小写字母计数；

Mars星球上有能量项链，金明预算购买主件附件；

Hanks博士培养细胞样本，潜伏者专心地破译密码；

Hankson出了一道趣味题，小城和小华玩靶形数独;

小明在藏宝楼上开宝箱，也在花店门口摆一排花；

使者游历各国学习文化，BlaisedeVigenere设计密码；

国王邀请大臣领取奖赏，小A和小B一起外出旅行；

守望者在荒岛上忙逃离，FJ在数字三角形上走路；

笨小猴正在选幸运单词，机器人尝试着搬运重物；

小明自己玩耍数字游戏，教主把花园种满一圈树；

奇怪的电梯正上上下下，小明规划旅行国家计划；

一堆人数来数去杀坏人，硬币正做着无谓的翻转；

拱猪是扑克牌非常有趣，尤其是Peter的烟闪光；

FJ专心地给奶牛分着厩，Tom研究双栈排序着迷；

FJ的奶牛掉进垃圾陷阱，一颗颗导弹被系统拦截；

小Z把他的袜子找到 AK了无数机房。

13.《AKIOI 时增强自信心的方法》

AC=Answer Coarse=粗劣的答案

WA=Wonderful Answer=好答案

TLE=Time Limit Enough=时间充裕

MLE=Memory Limit Enough=内存充裕

CE=Compile Easily=轻松通过编译

RE=Run Excellently=完美运行

UKE=Unbelievably Keep Enough Score=难以置信地保持足够的分数

AU=All Unaccepted=全都不正确

14.《看起来像一个三角形但最后一个字却是秀》

秀

天秀

陈独秀

蒂花之秀

造化钟神秀

拼命三郎石秀

维多利亚内衣秀

吾何时能及汝之秀

同福客栈李秀莲的秀

我滴龟龟你怎么这么秀

一顾倾人城叹你眉清目秀

蓦然回首没想到你如此内秀

社会主义接班人就数你最优秀

无论多少言语表达不了你秀

腾讯旗下黄钻绿钻QQ超秀

老太太都不服服你太秀

李云龙老婆秀芹的秀

求求你了不要再秀

米兰国际时装秀

湖南台真人秀

中国梦想秀

山清水秀

年代秀

刘秀

秀

15.《全世界人民把这些话顶成了三角形但是我还要顶顶出更多话可还是不够于是我比谁都难受所以我还要顶》

顶

要顶

必须顶

不得不顶

用尽全力顶

再加上千斤顶

总之把它顶到顶

接着使出葵花宝顶

就算顶到史前也要顶

老子看了会用道德经顶

孔子亲自拜你为师天天顶

秦始皇站在阿房宫上使劲顶

汉高祖挥师杀向东罗马为你顶

吕布抛弃了貂禅而选择了帮你顶

张三丰见了后用太极拳九式全力顶

左冷禅召开武林盟主大会商讨如何顶

西门吹雪从此学会了最强一招剑神一顶

龙剑飞的如来神掌最后一式改为万佛朝顶

陆小凤从此再也不管闲事了而专门来为你顶

四大名捕四面出击看天下还有没有人敢不在顶

黄飞鸿的宝芝林里从此多了一味药叫做吃了就顶

霍元甲其实根本就没有死因为他还想要努力帮你顶

蒋介石之所以秃了顶就是因为天天晚上在费力为你顶

希特勒消失在人们的视线当中其实是在暗地里不断地顶

爱因斯坦宁愿自已把相对论彻底的否定也要来为你顶一顶

萨达姆成了亡国奴可是一直到现在都没有屈服而在拼命的顶

本拉登在曼哈顿不小心放了两个大花炮现在只能躲起来为你顶

小泉这厮本来不想让他顶但他有这么厚脸也没办法只能让他也顶

特朗普调集了全球美军所有的战斧式巡航导弹向华盛顿发射来狂顶

阿扁的腿已吓得发颤大小便也已经失禁却还要硬着头皮说我就是要顶

外逃的贪官们已被抓回了一大批但还有一些心存侥幸的家伙在想办法顶

张艺谋为了表达心中对你的感慨而去专门拍了一部片子大红灯笼高高挂顶

超级女声的名头越来越响但实际上在她们内心的世界里只爱你一人只为你顶

姚明竭尽全力在总决赛第七场的最后一秒高高跳起不为了扣篮而是为了帮你顶

乔丹在篮球场上之所以这么伟大是因为他在多年前就预感到了伟大的你而为你顶

贝克汉姆在一场比赛里踢出了一百个香蕉球都被对手奋不顾身的往自家的球门里顶

国际乒联为了取悦于你而彻底的将乒乓球击球的规则由向前拍打改为只准用拍向前顶

全国人民代表大会所有委员一致通过将你的精神写进宪法让全国人民来一起来帮你狂顶

16.《请你坐下》

陈独秀同志，请你坐下，你这种行为挡住了旁边的李大钊同志发言，这让胡适同志很难受，令鲁迅同志很难堪，朱自清同志表示很尴尬，钱钟书和徐志摩同志已经在撸袖子了，所以，为了你的生命安全，请默默坐下，低调做人，你凳子上的钉子我已经给你拔掉了，凳子底下的地雷我也给你挖出来了，对面楼上的狙击手也被击毙了，下水道里的特务也被淹死了，现在能不能坐下来了？

17.《“学而时习之”新编》

吾日三省吾身，为变量而不初始化乎？与大数算而不long long乎？不写文件乎？

18.《清平乐·WA居》

时限超少，测评全凉凉。醉里疯狂砸电脑，复评再次凉凉。

大佬不惧考试，同学正切黑题。最喜我大蒟蒻，厕所水洗电脑。

19.《北冥有鱼》

北冥有鱼，其名为鲲。鲲之大，long long 存不下。

化而为鸟，其名为鹏。鹏之大，高精会爆炸。

20.《AKIOI》

屏幕在深夜微微发亮

思想在那虚树路径上彷徨

平面的向量交错生长

织成　忧伤的网

剪枝剪去我们的疯狂

SPFA告诉我前途在何方

01背包装下了忧伤

笑颜　洋溢脸庞

键盘微凉　鼠标微凉　指尖流淌　代码千行

凸包周长　直径多长　一进考场　全都忘光

你在OJ上提交了千百遍

却依然不能卡进那时限

双手敲尽代码也敲尽岁月

只有我一人　写的题解

凋零在OJ里面

tarjan陪伴强联通分量

生成树完成后思路才闪光

欧拉跑过的七桥古塘

让你　心驰神往

队列进出图上的方向

线段树区间修改求出总量

可持久留下的迹象

我们　俯身欣赏

数论算法　图论算法　高斯费马　树上开花

线性规划　动态规划　时间爆炸　如何优化

我在OI中辗转了千百天

却不让我看AK最后一眼

我用空间换回超限的时间

随重新编译 测完样例

才发现漏洞满篇

原来CE　是因选错语言

其实爆0　只因忘写文件

如果标算太难请坚定信念

不如回头再看一眼题面

以那暴力模拟向正解吊唁

蒟蒻的蜕变　神犇出现

终将与Au擦肩

屏幕在深夜微微发亮

我心在考场......

21.《君不见》

君不见，OI之题天上来，复杂到海不舍回。

君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。

人生WA须尽思，莫使电脑空对题。

天生我材没有用，千方百计还RE。

AC一点且为乐，会须一刷三百WA。

吾团友，牛大佬， 将刷题，手莫停！！！

与题做一遍，请系统为蒟蒻以测评。

天天WA不足贵，但愿长眠不复醒！！！

古来大佬皆刷题，惟有蒟蒻水水水。

站长昔时百AC，斗题十千恣欢谑。

主人何为言AC？径须沽取对君WA。

TLE、MLE，呼WA将出换AC，与君同销万古行！

22.《躲猫猫》

一群伟大的科学家死后在天堂里玩藏猫猫，轮到爱因斯坦抓人，他数到100睁开眼睛,看到所有人都藏起来了，只见伏特趴在不远处。

爱因斯坦走过去说：“伏特,我抓住你了。”

伏特说：“不，你没有抓到我。”

爱因斯坦：“你不是伏特你是谁？”

伏特：“你看我身下是什么？”

爱因斯坦低头看到在伏特身下，居然是安培!

伏特：“我身下是安培，我俩就是伏特/安培, 所以你抓住的不是我，你抓住的是欧姆！”

爱因斯坦反应迅速，于是改口喊，“欧姆，我抓住你了！”

可是伏特和安培毕竟是欧姆的好哥，于是，伏特和安培一个鱼跃站了起来，但是仍然紧紧抱在一起，爱因斯坦大惑～

他俩不紧不慢地说，现在，我们不再是欧姆,而是伏特×安培，变成瓦特了～

爱因斯坦觉得有道理，于是喊，那我终于抓到你了，瓦特!

这时候，瓦特躲在角落里慢慢悠悠地说：“你看他俩这样抱着已经有好几秒了，所以，你抓得不是瓦特，而是瓦特×秒。”

这时，他看到牛顿站在不远处，爱因斯坦于是跑过去说：“牛顿，我抓住你了。”

牛顿：“不，你没有抓到牛顿。”

爱因斯坦：“你不是牛顿你是谁？”

牛顿：“你看我脚下是什么？”

爱因斯坦低头看到牛顿站在一块长宽都是一米的正方形的地板砖上，不解。

牛顿：“我脚下这是一平方米的方块，我站在上面就是牛顿/平方米，所以你抓住的不是牛顿，你抓住的是帕斯卡。”

爱因斯坦倍受挫折，终于忍无可忍地爆发了，于是飞起一脚，踹在牛顿身上，把牛顿踹出了那块一平米的地板砖，然后吼道：“说！你还敢说你是帕斯卡？”

牛顿慢慢地从地上爬起来，说：“不，我已经不是帕斯卡了，你刚刚让我牛顿移动了一米的距离，所以，我现在也是焦耳了。”

焦耳这次学聪明了，一把扑到了阿伏伽德罗在自己身下，说：“你看，我现在是J/mol啦。”

正当爱因斯坦思考J/mol是什么东西的时候，亥姆霍兹和吉布斯这两个自由能吵了起来，都说是对方。为了不至于两败俱伤，他们一脚把开尔文踹到焦耳下面，把阿伏伽德罗顶了出来。

“看！”他俩说，“现在是J/K，是熵啦，要抓就抓克劳修斯吧！”

游戏继续。

这次是安培被爱因斯坦发现了，眼看安培就要被抓了，安培顺势往地上一躺，伸直身体对站在身边不远处的爱因斯坦说：“等等,我在你站的地方产生了磁场。”正当爱因斯坦在考虑该抓高斯还是特斯拉的时候,发现他俩一人找了一块地板砖抱着，说：“不麻烦你老了，我们现在是磁通量B·S，去找韦伯吧。”

等到爱因斯坦要抓住韦伯的时候，发现韦伯在 做深蹲。

爱因斯坦问：“你干嘛呢？”

韦伯回答说：“你没看到我一会儿变大，一会儿变小，我在产生感应电动势呢。”

这时伏特一下子慌了，一把抓住密立根的衣领，说：“你成天拿个油壶乱喷什么？”

“测定元电荷。”密立根回答道。

“太好了！”伏特一把抱住密立根说，“从现在起，我们就是eV，也就是焦耳。”

“靠,今天是邪了门啦”焦耳嘀咕道，于是一把把赫兹压在身下，说：“看,现在是E/v，是普朗克啦！”

普朗克也不是好惹的，他突然发现远处有个来自东方的老头在地上写下了22/7和355/113，很是得意，一打听此人姓祖，心里大喜，急忙跑过去，把这两个分数照抄了一遍，趴在这四个分数上面，对刚气喘嘘嘘赶来的爱因斯坦说：“看，我现在是h/4pi，”

“那又怎样？”爱因斯坦问。

“是我的好哥们海森堡教我的，说这样我就不是我了，有什么事尽管找他。”

“好，那他在哪里？”

“这个，还真说不准。”

爱因斯坦恼羞成怒，正准备对普朗克大打出手，普朗克却说：“等等，海森堡有个姓薛的好哥们，就躲在前面的箱子里。”

“这个箱子连通风口都没有。” 爱因斯坦问。

“这个就得你亲自去打开看看了。”

23.《学霸和学渣的区别》

上化学课，老师问：“学霸，怎样治疗胃酸过多？”

学霸起立，不假思索：“用碳酸氢钠。”

老师追问：“那怎样得到碳酸氢钠呢？”

学霸从容道：“ 将碳酸钠溶液，在碳化塔中通过二氧化碳碳化后，再经分离干燥得到。”

老师继续：“那怎样得到碳酸钠溶液呢？”

学霸愣了一下，但继续说： “用二氧化碳气体通氢氧化钠溶液，过滤得碳酸钠固体加水溶解得到溶液。 ”

老师不紧不慢地道：“那怎样得到氢氧化钠呢？”

学霸虎躯一震，结巴道：“将钠晶体放入适量水中制得。”

果然，老师就像是跟学霸扛上了，又曰：“那钠晶体从哪里来呢？”

学霸不以为然，答道：“钠晶体可以通过用熔融温度约为580 ℃的40％（质量分数）氯化钠和60％氯化钙的低共熔物再电解制得。”

老师笑眯眯的又问道：“那么氯化钠和氯化钙是怎么来的呢？”

学霸得意的冲老师一笑说：“氯化钠通过蒸发海水并提炼所得到的母卤制得，至于氯化钙，直接使用工业盐酸与开采出的大理石矿反应即可啊。”

老师不以为然的挑了一下眉毛，张口说：“那工业盐酸”

学霸直接打断了她的话：“令氯气在氢气中燃烧，而后通入水中制得。至于氯气，电解制金属钠的时候就已经反应出来了。至于氢气......”

学霸喘了口气，顿了顿，又说：“可以通过裂化石油气经过变压催化装置得来。所谓裂化石油气，就是使原油经过另一套变压催化装置，使重油裂化为烷烃和烯烃。”

“学霸，学习不能死学啊，要活学活用，回答太啰嗦复杂了。 ”老师叹了口气，道，“ 好好听别人是怎么回答的，来，学渣，别睡了，起来回答怎样治疗胃酸过多？”

学渣懒散地起来，眯了眯眼，说：“去药店买胃药。”

老师一脸笑容：“嗯，不错，继续睡吧。回答问题就是要这样，简单明了。学霸，你听懂了吗？”

学霸：“……”

永远的目标 AKIOI

最后请热爱C++