#1360. [CSP-S2019] 划分

[CSP-S2019] 划分

[CSP-S2019] 划分

题目描述

2048 年,第三十届 CSP 认证的考场上,作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 nn 组数据,数据从 1n1 \sim n 编号,ii 号数据的规模为 aia_i

小明对该题设计出了一个暴力程序,对于一组规模为 uu 的数据,该程序的运行时间u2u^2。然而这个程序运行完一组规模为 uu 的数据之后,它将在任何一组规模小于 uu 的数据上运行错误。样例中的 aia_i 不一定递增,但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例,于是小明决定使用一种非常原始的解决方案:将所有数据划分成若干个数据段,段内数据编号连续,接着将同一段内的数据合并成新数据,其规模等于段内原数据的规模之和,小明将让新数据的规模能够递增。

也就是说,小明需要找到一些分界点 1k1<k2<<kp<n1 \leq k_1 \lt k_2 \lt \cdots \lt k_p \lt n,使得

i=1k1aii=k1+1k2aii=kp+1nai\sum_{i=1}^{k_1} a_i \leq \sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i \leq \cdots \leq \sum_{i=k_p+1}^{n} a_i

注意 pp 可以为 00 且此时 k0=0k_0 = 0,也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。

小明希望他的程序在正确运行样例情况下,运行时间也能尽量小,也就是最小化

(i=1k1ai)2+(i=k1+1k2ai)2++(i=kp+1nai)2(\sum_{i=1}^{k_1} a_i)^2 + (\sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i)^2 + \cdots + (\sum_{i=k_p+1}^{n} a_i)^2

小明觉得这个问题非常有趣,并向你请教:给定 nnaia_i,请你求出最优划分方案下,小明的程序的最小运行时间。

输入格式

由于本题的数据范围较大,部分测试点的 aia_i 将在程序内生成。

第一行两个整数 n,typen, typenn 的意义见题目描述,typetype 表示输入方式。

  1. type=0type = 0,则该测试点的 aia_i 直接给出。输入文件接下来:第二行 nn 个以空格分隔的整数 aia_i,表示每组数据的规模。
  2. type=1type = 1,则该测试点的 aia_i特殊生成,生成方式见后文。输入文件接下来:第二行六个以空格分隔的整数 x,y,z,b1,b2,mx, y, z, b_1, b_2, m。接下来 mm 行中,第 i(1im)i (1 \leq i \leq m) 行包含三个以空格分隔的正整数 pi,li,rip_i, l_i, r_i

对于 type=1type = 1 的 23~25 号测试点,aia_i 的生成方式如下:

给定整数 x,y,z,b1,b2,mx, y, z, b_1, b_2, m,以及 mm 个三元组 (pi,li,ri)(p_i, l_i, r_i)

保证 n2n \geq 2。若 n>2n \gt 2,则 3in,bi=(x×bi1+y×bi2+z)mod230\forall 3 \leq i \leq n, b_i = (x \times b_{i−1} + y \times b_{i−2} + z) \mod 2^{30}

保证 1pin,pm=n1 \leq p_i \leq n, p_m = n。令 p0=0p_0 = 0,则 pip_i 还满足 0i<m\forall 0 \leq i \lt mpi<pi+1p_i \lt p_{i+1}

对于所有 1jm1 \leq j \leq m,若下标值 i(1in)i (1 \leq i \leq n)满足 pj1<ipjp_{j−1} \lt i \leq p_j,则有

ai=(bimod(rjlj+1))+lja_i = \left(b_i \mod \left( r_j − l_j + 1 \right) \right) + l_j

上述数据生成方式仅是为了减少输入量大小,标准算法不依赖于该生成方式。

输出格式

输出一行一个整数,表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

5 0
5 1 7 9 9

样例输出 #1

247

样例 #2

样例输入 #2

10 0
5 6 7 7 4 6 2 13 19 9

样例输出 #2

1256

样例 #3

样例输入 #3

10000000 1
123 456 789 12345 6789 3
2000000 123456789 987654321
7000000 234567891 876543219
10000000 456789123 567891234

样例输出 #3

4972194419293431240859891640

提示

【样例 1 解释】

最优的划分方案为 {5,1},{7},{9},{9}\{5,1\}, \{7\}, \{9\}, \{9\}。由 5+17995 + 1 \leq 7 \leq 9 \leq 9 知该方案合法。

答案为 (5+1)2+72+92+92=247(5 + 1)^2 + 7^2 + 9^2 + 9^2 = 247

虽然划分方案 {5},{1},{7},{9},{9}\{5\}, \{1\}, \{7\}, \{9\}, \{9\} 对应的运行时间比 247247 小,但它不是一组合法方案,因为 5>15 \gt 1

虽然划分方案 {5},{1,7},{9},{9}\{5\}, \{1,7\}, \{9\}, \{9\} 合法,但该方案对应的运行时间为 251251,比 247247 大。

【样例 2 解释】

最优的划分方案为 {5},{6},{7},{7},{4,6,2},{13},{19,9}\{5\}, \{6\}, \{7\}, \{7\}, \{4,6,2\}, \{13\}, \{19,9\}

【数据范围】

测试点编号 nn \leq aia_i \leq type=type =
131 \sim 3 1010 0
464 \sim 6 5050 10310^3
797 \sim 9 400400 10410^4
101610 \sim 16 50005000 10510^5
172217 \sim 22 5×1055 \times 10^5 10610^6
232523 \sim 25 4×1074 \times 10^7 10910^9 1

对于type=0type=0的所有测试点,保证最后输出的答案4×1018\leq 4 \times 10^{18}

所有测试点满足:type{0,1}type \in \{0,1\}2n4×1072 \leq n \leq 4 \times 10^71ai1091 \leq a_i \leq 10^91m1051 \leq m \leq 10^51liri1091 \leq l_i \leq r_i \leq 10^90x,y,z,b1,b2<2300 \leq x,y,z,b_1,b_2 \lt 2^{30}